在实际研究中，很多时候变量之间的关系不一定是线性关系，而是因变量表现为自变量的非线性组合，此时研究现象之间的关系需要配合非线性回归模型。由于非线性模型的估计比线性模型要复杂得多，通常尽可能将其转化为线性问题加以解决，尽管不是所有非线性模型都可以线性化，但许多非线性模型线性化后仍适用于线性回归模型的估计方法。本节将介绍此类非线性模型的线性化。
1.非线性模型的线性化
变量之间的非线性关系许多情况下可以通过简单变换完全转化为线性关系，其中变量非线性问题和有些参数非线性问题一般可以完全转化为线性问题。
（1）双曲线模型的线性化
双曲线模型的一般形式为
在模型中，xi为自变量；yi为因变量；εi表示随机误差；α和β为回归参数。
令
则有
yi′=α+βxi′+εi
此时，两变量之间的非线性问题完全转化为一元线性问题。
（2）幂函数模型的线性化
幂函数模型的一般形式为
yi=α·xiβ·εi （4-56）
模型两边取对数有
lgyi=lgα+βlgxi+εi （4-57）
令
yi′=lgyi，xi′=lgxi，αi′=lgαi，εi′=lgεi
则有
yi′=α′+βxi′+εi′
此时，幂函数模型完全转化为一元线性模型。
（3）指数函数模型的线性化
指数函数模型的一般形式为
模型两边取自然对数有
lnyi=lnα+βxi+εi （4-59）
令
lnyi′=yi，α′=lnα
则有(www.xing528.com)
yi′=α′+βxi+εi
此时，指数函数模型完全转化为一元线性模型。
（4）S形曲线模型的线性化
S形曲线模型的一般形式为
令
则有
yi′=α+βxi′+εi
此时，S形曲线模型完全转化为一元线性模型。
（5）多项式模型的线性化
在某些一元非线性模型中，因变量表现为自变量的多项式组合，比较典型的如抛物线模型，抛物线模型有二次、三次等不同形式。考虑二次抛物线形式
yi=α+βxi+γxi2εi （4-61）
此时，将xi看作自变量x1i，将xi2看作自变量x2i，则有
yi=α+βx1i+γx2i+εi （4-62）
二次抛物线模型完全转化为二元线性模型。同样，k次抛物线可以完全线性化为k元线性模型。
需要注意的是，上述多项式模型线性化后，容易引起多重共线性问题。
在原来的非线性模型中，满足线性回归模型假设条件的，转化为线性模型后假设条件不一定再满足。比如：原模型中随机误差项在满足经典假设的情况下，线性模型中新的随机误差项不一定再满足正态分布的假设；多项式非线性模型转化为线性模型后自变量之间不存在线性相关的假设不再满足；等等。
2.不可化为线性的非线性问题
并非所有的非线性模型都可以转换为线性问题。如果非线性回归模型无论采用什么样的变换都不可能实现其线性化，则称之为不可线性化的非线性回归模型。
这种模型的估计方法是迭代线性化逐步逼近法，其基本步骤是：
①首先通过泰勒级数展开将模型的非线性函数在某一组初始参数估计值附近线性化。
②对这一线性化的函数应用普通最小二乘法，得到一组新的参数估计值。
③再使非线性函数在新的参数估计值附近线性化，对新的线性化的模型再次应用普通最小二乘法，又得到一组新的参数估计值。
④不断重复上述过程，直至参数估计值收敛为止，即第n组参数估计值与第n-1组参数估计值没有显著差别时为止。
这个方法的优点是：
①有比较高的计算效率。如果被估计的非线性函数很接近一个线性函数，则只需要几次迭代就可以得到满意的结果。
②因为每一次迭代都是一次线性回归，因此我们可以进行标准的显著性检验、拟合优度检验等各种统计检验。
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