力的平衡条件及证明方法

力引起物体运动状态发生改变的效应称为力的外效应；引起物体产生变形的效应称为力的内效应，在实际中力对物体的作用在产生外效应的同时也将产生内效应。

如果我们只研究物体的运动状态（力的外效应），就可忽略物体的变形，把它看成是任意两点之间的距离始终保持不变的刚体。

物体相对于地球作匀速直线运动或保持静止，都是一种特殊的运动状态，称为平衡状态。

1.力的可传性

由于力对于刚体只有运动效应，因此，作用于刚体上的力，可沿其作用线传移到刚体内任意一点，而不改变原力对刚体的作用效应。这种作用于刚体上的力可以沿其作用线移动的性质，称为力的可传性。

例如，在日常生活中用绳拉车，或者沿着同一直线，以同样大小的力用手推车，对车将产生相同的运动效应，如图1-2所示。

图1-2 力对车的运动效应

根据力对刚体的可传性，作用于刚体上力的三要素可改为：力的大小、方向和作用线。

应当指出，在研究力对物体的变形效应时，力是不能沿作用线传递的。如图1-3a所示的可变形直杆，沿杆的轴线在两端施加大小相等、方向相反的一对力F₁和F₂时，杆将产生拉伸形变。如果将力F₁沿其作用线移至B点，将力F₂沿其作用线移至A点，如图1-3b所示，杆将产生压缩形变。因此，力的可传性对变形体不成立。

图1-3 力在变形体上传移

a）拉伸变形 b）压缩变形

2.二力平衡条件

作用于同一刚体的两个力，使刚体处于平衡的充分和必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，且作用在同一条直线上。

需要注意的是，这一条件对于变形体而言，只是平衡的必要条件，而不是充分条件。例如，绳索受到大小相等、方向相反的拉力时可以平衡，如图1-4a所示。而受到大小相等、方向相反的压力时，则不能平衡，如图1-4b所示。

图1-4 二力作用在变形体上的情况

a）平衡 b）不平衡(www.xing528.com)

无论是直杆还是曲杆，在两个力作用下处于平衡的构件，称为二力构件。二力构件上的力必须满足二力平衡条件。

在建筑结构中受二力平衡的杆件很多，如钢筋受拉平衡、柱子轴向受压平衡都属于这一类平衡。对于只在两点上受力而平衡的杆件，包括折杆或曲杆，应用二力平衡定律，从而可以确定某未知约束力的方位。

3.作用与反作用定律

两个物体间的作用是相互的，且同时存在、同时消失。这一性质表明：两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，并分别作用在这两个物体上。它们总是成对出现的，有作用力，也必定有反作用力，二者同时存在，同时消失。一般习惯上将作用力与反作用力用同一字母表示，其中一个加一撇以示区别。

4.力的平行四边形定律

两个相交于一点的力对刚体的作用，可以用此二力的矢量为邻边所构成的平行四边形对角线矢量所表示的力来代替，该力即为此二力的合力。这个定律表明合力是分力的几何和，也称矢量和。以R表示力F₁与F₂的合力，则由上述定律得

R=F₁+F₂

图1-5a所示为该定律的图解说明。图中平行四边形对角线OO′矢量就是合力R。

图1-5 力的合成方法

由于OC与BO′两线段平行且相等，因此在求F₁与F₂的合力时，只要作出力的平行四边形的一半就可以了，从O点出发作F₁矢量OB，从F₁矢量的终点B出发作F₂矢量BO′，连接O、O′两点，即得合力R矢量OO′。三角形OBO′（或OCO′）称为力的三角形。为了清晰起见，常把力的三角形画在力所作用的物体之外，如图1-5b所示的三角形，同样得到合矢量R。不过这种方法只能确定合力的大小和方向，而不能确定合力的作用线位置，显然合力作用线仍然通过原二力的交点。

力的平行四边形定律是力系简化的主要依据，因为它解决了两个已知力求合力问题。同样，它也可以解决一个合力分解为两个已知方向的分力问题。

图1-6 三力平衡必汇交定理

前面已经研究过二力平衡的问题，在掌握了力的平行四边形定律后，我们可以得到有关三力平衡的一条重要定理，即作用在刚体上不平行的三个力若平衡，该三力必须汇交于一点，且在同一平面内。此定理证明如下：

如图1-6所示，刚体上不平行的三个力F₁、F₂、F₃处于平衡状态，根据力的平行四边形定律，考虑到力的可传性，显然F₂与F₃可合成为一个过交点D的力R，此时三力平衡已变成为F₁与R的二力平衡。根据二力平衡的条件，显然F₁也必须通过F₂与F₃的交点D，因此三力平衡必须交于一点。由于R与F₂和F₃在同一平面，且F₁与R在同一直线上，所以F₁、F₂和F₃也必须在同一平面内。