体系的自由振动可分解为一系列简谐振动的叠加。由式（1-14）、式（1-15）、式（1-16）可得方程：
KU∗=λMU∗ （1-22）
式（1-22）中λ=ω2。这样，求结构无阻尼自由振动的解就化为求解满足方程（1-22）的λ和非零向量U∗。方程（1-22）为特征方程，该问题变为特征方程求解的问题。
（1）行列式搜索法 行列式搜索法求解时所用的基本方法是：利用Sturm序列的性质，通过对称矩阵的三角分解计算矩阵的行列式值，用加速割线法求出靠近下一个未知特征值的移位，然后用移位逆迭代求特征向量，同时使特征值精化，遇到重根情况时，对特征向量施行格雷姆—施密特正交化，以保证不发生丢根。
P（λ）=det（K-λM） （1-23）
P（λ）为特征方程（1-22）的特征多项式，它的零点即为特征方程的特征值。采用割线法求特征多项式的根，在求λj的近似值时，迭代所用的多项式为缩约的多项式Pj-1（λ）：
然后使用逆迭代法求最小特征值，并移位逆迭代求各个特征值和特征向量。
（2）子空间迭代法 子空间迭代法的基本目的是求解特征方程的最低的m个（用户指定）频率以及相应的振型，基本的子空间迭代法主要有三个步骤：
1）取q个初始迭代向量（q＞m）。
2）用q个向量同时逆代和分析得到特征值和特征向量的“最佳”的近似值。
3）在迭代收敛后，用Sturm序列检查去验证要求的特征值和特征向量已经得到。
这种方法相当于在q维子空间进行迭代，因此称为子空间迭代法，它是一种求解大型特征值问题的有效方法。
现求方程前m个振型，设初始振型为：
X0=[X1（1）X1（2）…X1（n）]T （1-25）
将X0代入式（1-22）的右边作一次逆迭代，可得：
KX1∗=MX0 （1-26）
利用式（1-26）求出X1∗后，把它作为瑞雷—李兹法的初始向量，可得：(www.xing528.com)
K1∗C1=λM1∗C1 （1-27）
K1∗=X1∗TKX1∗，M1∗=X1∗TMX1∗ （1-28）
由式（1-27）可求出n个λi及相应的特征向量C1（i），它们满足下列方程：
K1∗C1（i）=λiM1∗C1（i） i=1，2，…，n（1-29）
由此可得：
K1∗C1=M1∗C1Ω21 （1-30）
式（1-30）中Ω21=diag（λ1，λ2，…，λn），C1=[C1（1）C1（2）…C1（n）]，当C1求出后，利用下列表达式可得新的振型矩阵。
X1=X1∗C1 （1-31）
上述计算过程为子空间迭代法的第一次迭代。经过循环迭代，第k步的迭代公式为：
KXk∗=MXk-1 （1-32）
Kk∗=Xk∗TKXk∗ （1-33）
Mk∗=Xk∗TMXk∗ （1-34）
Kk∗Ck=Mk∗CkΩ2k （1-35）
Xk=Xk∗Ck （1-36）
在实际应用中，一般经过2～3次迭代，即可求得前面2个或3个振型逼近精确解。
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