解析法：建筑结构损伤识别

设三维结构有m根构件、n个节点，分析其在时间区间[0，T]的运动。节点的位移用矩阵表示为：

{u}_i^T=（u₁，u₂，…，u₆） （7-1）

其中T表示矩阵转置；u₁、u₂、u₃分别表示X、Y、Z方向的位移；u₄、u₅、u₆分别表示相应的转角。

整个结构的位移用矩阵表示为：

{U}^T=（{u}₁，{u}₂，…，{u}_n） （7-2）

分析单元e，两端的节点用i和j表示。为了便于分析问题，引入局部坐标系：x、y、z。x轴为单元的轴线方向，y和z轴为单元横截面的主向。单元的变形矩阵为：

Φ_e^T=（ϕ_iy，ϕ_jy，δ，ϕ_iz，ϕ_jz，ϕ_x） （7-3）

其中δ表示单元e的轴向变化量；ϕ_x表示转角；ϕ_iy、ϕ_jy分别表示i、j端在xz平面的转角；ϕ_iz、ϕ_jz分别表示i、j端在xy平面的转角。单元变形如图7-1所示。

图7-1 单元变形图

单元的变形与节点位移关系为：

式（7-4）中矩阵[B]是节点位移函数，具体的形式为：

其中t、m、n是x、y、z轴向的单位向量，L是构件的长度。

与单元变形对应的单元力为：

M_e^T=（m_iy，m_jy，N，m_iz，m_jz，m_x） （7-6）(https://www.xing528.com)

其中，N表示轴力；m_x表示扭矩；m_iy、m_jy分别表示i、j端xz面内的弯矩；m_iz、m_jz分别表示i、j端xy面内的弯矩。单元力示意图如图7-2所示。

图7-2 单元力示意图

利用虚功率原理，得：

P_i^∗+P_a^∗=P_e^∗ ∀{U^∗} （7-7）

其中P_i^∗表示构件变形功率；P_a^∗表示惯性力的功率；P_e^∗表示节点力的功率。

其中，和分别表示单元的虚变形率、单元节点位移变化率。

其中，{m}_e是单元质量矩阵。

其中，{P}_e是单元节点外力。

将式（7-8）、式（7-9）和式（7-10）代入式（7-7）中，得：

消去上式两边的公因子，得三维结构的动力方程式：