结构模态分析与计算主要是运用有限元法对振动结构进行离散，建立系统特征值问题的数学模型，用各种近似方法求解系统特征值和特征向量。由于阻尼难以准确处理，因此通常均不考虑小阻尼系统的阻尼，解得的特征值和特征向量即系统的固有频率和固有振型向量。对于大型结构体系而言，求解体系的所有频率是不必要的，一般仅求解与激励荷载频率范围相关的前几阶频率即可。对于这种情况，常用的计算方法主要包括子空间迭代法、兰佐斯法（Lanczos方法）、里兹向量直接叠加法等。下面介绍兰佐斯法的求解过程。
兰佐斯法最早由Lanczos于1950年提出，但在早期用这种方法运算时，由于舍入误差随迭代次数的增加而很容易丧失正交性，因此在数值计算上是不稳定的。直到20世纪70年代有人将其与瑞利-李兹法相结合，用于求解部分特征解，才逐渐成为一种成功并广泛应用的方法。兰佐斯法本质上是向量迭代法或反迭代法与瑞利-李兹法相结合的一种方法，基本步骤包括3个，依次为矢量迭代、里兹分析和解3对角矩阵特征值问题。通过矢量迭代产生具有正交性的近似里兹矢量组，即里兹基向量，由里兹变换使原问题转化为低阶3对角矩阵，然后求解3对角矩阵的特征值，进而得到原问题的一组特征值。而3对角矩阵特征矢量通过里兹基变换得到原问题的特征矢量[21]。
兰佐斯（Lanczos）方法用于标准特征值问题时称为标准兰佐斯方法，用于广义特征值问题时称为广义兰佐斯方法。若按矢量迭代所采用的正迭代或逆迭代，则可分为一般兰佐斯方法和逆兰佐斯方法。
1.标准兰佐斯方法
对于标准兰佐斯方法，设标准特征值问题为
式中 K——n×n阶刚度矩阵。
首先选取适当的初始迭代矢量U1，将矢量U1进行正则化，对k=1，2，…，m-1（m为所求前m阶特征值或特征向量数，m-1≤n），依次迭代计算为
式中 ‖‖2——矢量的范数。
进而可以得到3对角矩阵为
求解该3对角矩阵的特征值，就是K矩阵的m个高阶特征值，即m个极大的特征值。
具体而言，选取初始量U1，进行正则化使得U T1U1=1，计算u1=KU1，令β1=0，对于k=1，2，…，m，依次进行以下5个式子的计算，即(www.xing528.com)
按照上述步骤依次计算，当k=m时，按照式（7-162）求出am后即停止迭代。从而将求得的各α和β值代入式（7-161），得到T矩阵。
若m＜n时，这一过程称为截断兰佐斯过程，所导出的矩阵T为一个低阶3对角矩阵。理论分析表明，由截断兰佐斯过程所产生的兰佐斯矢量所构成的子空间逼近于原问题的最大特征矢量组构成的子空间，因而T的特征值就是原问题的最大特征值近似解。
接下来则需要求解矩阵T的特征值，可选二分法、QR法或标准Jacobi法来实现。由于T的阶数小于刚度矩阵K的阶数，并且T为3对角矩阵，因此求特征值的过程将简便很多。理论上而言，兰佐斯方法中Uk+1求解中采用了正交化算式，见式（7-163）～式（7-165），但实际计算中由于计算机的截断误差和舍入误差，兰佐斯矢量间的正交系得不到严格的保证，这将导致数值上的不稳定性，如虚假的多重特征值现象等，进而严重影响最后结果的精度。所以实际的处理过程中，必须对兰佐斯矢量进行重正交化处理，以保证兰佐斯方法解的可靠性，一般可按照克莱姆-施密特（Gram-Schmidt）正交化处理方法来实现。通常而言并不需要对每一个兰佐斯矢量进行重正交化处理，以减少运算次数。进而出现了各种部分正交化的方法，诸如选择正交算法、周期正交算法、部分正交算法和追踪正交算法等[6]。
2.广义兰佐斯方法
对于广义兰佐斯方法的运算过程，基本上与上述的标准兰佐斯方法相同。设广义特征值问题为
式中 K——n×n阶实对称正定矩阵；
M——对称矩阵。
首先选取适当的初始迭代矢量U1，且进行正则化使得U1TMU1=1，计算u1=K-1MU1，令β1=0，对于k=1，2，…，m，依次进行下列5个式子的计算，即
按照上述步骤依次计算，当k=m时，按照式（7-168）求出am后即停止迭代。从而将求得的各α和β值代入式（7-161），得到T矩阵。求此矩阵对应的标准特征值问题为
求出式（7-173）全部特征值后，原问题的部分特征解Φ为
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