汽车减振器设计仿真与响应特性

由于阻尼会使自由振动逐渐衰减，最后达到完全停止。工程上一些能持续下去的振动必定有外加能源，以弥补阻尼所消耗的能量，使系统的振动不会衰减。因此，工程上多采用强迫振动的响应。

若简谐激振力f（t）=F₀sinωt，则根据牛顿第二定律，可得单质量振动系统在简谐激振力f（t）=F₀sinωt作用下的振动微分方程，可表示为

式（2-19）可写为

式中，，；。

振动微分方程式（2-20）的解包括两部分：齐次方程的通解z₁和方程的特解z₂，即

z=z₁+z₂

由2.2.2节可知，在弱阻尼（ξ＜1）的情况下，有阻尼自由振动齐次方程的解z₁为

式（2-21）代表的是一种衰减振动，只在振动开始的一段时间内才有意义，故为瞬态振动。在一般情况下实际工程意义不大，可以不予考虑。

振动微分方程式（2-20）的特解z₂，代表系统在简谐激振下所产生的强迫振动，它是一种持续的等幅振动，故为稳态振动。设特解z₂为

z₂=Zsin（ωt-ψ） （2-22）

式中，Z为振动响应的幅值；ω为激振力圆频率，也是振动响应的圆频率；ψ为响应滞后于激励的相位差。

又因为

将式（2-22）～式（2-24）代入微分方程（2-20），可得

-ω²Zsin（ωt-ψ）+2ξpωZcos（ωt-ψ）+p²Zsin（ωt-ψ）=Fsin ωt（2-25）

利用三角函数关系得

Fsin ωt=Fsin[（ωt-ψ）+ψ]=Fcos ψsin（ωt-ψ）+Fsin ψcos（ωt-ψ）（2-26）

比较式（2-26）和式（2-25），由于对任何瞬时t都成立，故sin（ωt-ψ）和cos（ωt-ψ）前的系数必须分别相等，即(www.xing528.com)

（p²-ω²）Z=Fcos ψ

2ξpωZ=Fsin ψ

因此，可得

式中，为频率比；，为系统的最大静位移。

因此，强迫振动的稳态解为

由上述强迫振动解可见：在简谐激振力作用下，强迫振动响应为也简谐振动，其频率与激振频率ω相同，但相位角滞后ψ，这是由于阻尼存在的关系。振幅Z与相位差ψ都只与系统固有特性及激振力的性质有关，而与初始条件无关。

由式（2-29）可得Z与Z₀之比β，β称为放大因子，为

放大因子β代表稳态振幅X与激振力幅F₀作用于弹簧上的静位移Z₀之比。β值不仅随λ而变，而且还随ξ值而变。

在不同的阻尼比ξ的情况下，放大因子β与频率比λ的关系以及相位角ψ与λ的关系，如图2-8和图2-9所示。其中，图2-8所示为幅频响应曲线，而图2-9所示为相频响应曲线。

图2-8 幅频响应曲线

图2-9 相频响应曲线

1）当λ≪1，即激振频率ω远小于系统的固有频率p时，无论阻尼大小如何，β接近于1，即振幅近似等于激振力幅值F₀作用下的静变形X₀。故在低频区内，振幅X主要由弹簧刚度控制。此时，相位差ψ≈0，即位移与激振力接近于同相位。

2）当λ≫1，即激振频率ω远大于系统的固有频率p时，β趋近于0。因为激振力方向改变太快，振动物体由于惯性来不及跟随，几乎停止不动。故在高频区内，振幅X主要决定于系统的惯性。这一特性正是隔振和惯性传感器的理论依据。相位差ψ≈π，即在高频范围内位移与激振力接近于反相位。

3）当λ≈1时，即ω接近p，振幅Z急剧增加，β趋向β_max，这种现象称为共振。严格地讲，β_max发生在处，但通常ξ²≪1，故ω=p时系统发生共振。由式（2-18）可以看出，振幅Z达到最大值时，由式（2-28）得。

可见在共振时，振幅最大值Z_max与阻尼比ξ的值有关，ξ越小，则Z_max将越大；在ξ→0时，Z_max可达到无穷大。但共振时的ψ值与阻尼比ξ的值无关，不论ξ为何值，共振时的ψ总是，这是共振的一个重要特征。从分析幅频响应与相频响应所引出的共振现象，是传统的共振试验法测定系统固有频率的理论基础。