地下工程对历史建筑沉降预测的研究及实践

数量化理论Ⅰ隶属于多元统计分析，从数量上对无法定量描述、用来判断和评价的数据资料进行探索研究，从而解决如何将定性问题定量化和建立数学模型问题的数理统计理论。数量化理论可充分利用能够收集到的定性、定量的地质条件信息和人为因素，定量地处理常规方法难以进行详细定量研究的工程问题，而且数量化理论Ⅰ在量化过程中，采用具有判断{Yes，No}意义的{1，0}值，它可以用简洁的方法求解，容易借助计算机进行分析。

1.预测原理

在数量化理论Ⅰ中，常把定量基准变量所依赖的定性说明变量称为项目（Item），而把项目的不同状态“值”称为类目（Category）。现考虑m个说明变量（项目），x1，x2，…，xm对定量的基准变量y1，y2，…，ym进行预测。设第一个项目x1有n个类目，c11，c12，…，c1n。

称δi（j，k）（i=1，2，…，Nj；j=1，2，…，m；k=1，2，…，rj）为项目j在类目k在第i个样品中的反映，并按式（3-33）确定：

如将p个定量变量和m个定性变量同时考虑，假定p个定量变量在第i个样本中的数据为xi（u）（u=1，2，…，pi；i=1，2，…，n），则兼有定性和定量变量的反映矩阵为

2.建立数学模型

在数量化理论中，假定基准变量与定性变量（项目、类目）的反映满足以下线性模型：

式中，yi是基准变量y在第i个样本中的测定值；bjk为项目j第k类项的常系数；εi为随机误差值。

根据最小二乘原理可推求系数bjk的最小二乘估计值，求解出之后，便可以得到只包含定性变量的预测方程：

将式（3-36）以矩形形式表示：Y=X·b+E，其中，X为样本反映矩阵，Y为样本矩阵，b为系数矩阵，E为随机误差矩阵，则满足正规预测方程系数b的最小估计值为

根据式（3-37）可以建立因变量估计值的表达式：

对于既有定性说明变量又有定量说明变量的情况，预测模型应满足以下线性方程：(www.xing528.com)

根据最小二乘原理可以推求出bjk及bu的最小方差线性无偏估计值，从而得到最终的预测方程如下：

3.预测模型精度及各项目的贡献分析

数学模型建立以后，预测精度决定了模型的适用性，本节基于多元线性回归分析模型，用复相关关系来表征预测模型的精度，用相关系数来衡量各项目在预测模型中的贡献大小。

（1）复相关关系

复相关关系为回归平方和SR占总平方和ST的比例，可以用来表征预测精度，按式（3-41）计算：

式中，为个基准变量的算术平均值；为数据方差，反映了数据变量y1，y2，…，yn波动性的大小；为残差平方和，用于反映y与x1，x2，…，xm-1之间的线性关系以外的因素引起的数据y1，y2，…，yn的波动，若Se=0，则多个观测值可用线性关系精确拟合，Se越大，观测值和线性拟合之间的偏差也越大；SR=为回归平方和，若SR越大，则说明由线性回归关系所描述的yi的波动性比例就越大，即y与x1，x2，…，xm-1之间的线性关系就越显著。

复相关数0≤R≤1，其值越接近1，说明模型预测精度就越高。

（2）相关系数

相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间的相关程度：

式中，xi为变量x的第i个样本值为所有变量x的平均值；yi为变量y的第i个样本值；为所有变量y的平均值。