正交多项式回归及其应用性能

前面介绍的多项式回归，当多项式的项数较多时，计算较繁杂，而利用正交多项式进行回归的方法，计算会变得简单一些。此外，因为正规方程组的系数矩阵往往出现病态现象，即系数矩阵元素的微小误差导致解的很大波动，致使计算结果不可靠，而利用正交多项式回归可改善这种情况[11]。

设想在矩阵G中，如果除了主对角线上的元素不为零，其余元素均为零的情况，即

那么矩阵G就变成了以下对角矩阵

而正规方程组成为对角方程组，求解非常方便，方程组的解为

满足式（1-8-71）的函数组称为正交函数组。如果一组多项式P0（x），P1（x），…，Pm（x），满足

那么就称这组多项式为正交多项式。正交实际是垂直这个概念的推广。

如果用正交多项式进行曲线拟合，则需要求出P0（x），P1（x），…，Pm（x）。为此，可采用格莱姆-施密特正交化方法[11]，利用序列{1，x，x2，…，xm}求得正交多项式，即

其中

可以证明[11，12]，按上述方法求得的多项式P0（x），P1（x），…，Pm（x）满足正交化条件，即任意两个不同的多项式的内积等于零。

根据式（1-8-73），得正交多项式回归方程待估参数为

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于是正交多项式回归方程为

对于正交多项式回归，仍然用单个测量值yi的标准差sr来衡量回归方程的精度。单个测量值标准差用下式计算，即

式中：残差υi=yi-（b0P0+b1P1+…+bmPm）；m为正交多项式最高幂次数。

对式（1-8-80）应用随机误差传递公式，得回归值误差方差

因为正交多项式回归的系数矩阵为对角矩阵，即

其逆矩阵仍为对角矩阵，而且有

所以，各回归系数间的协方差应为零，而方差为

于是

令

可得回归值的标准差为