大学物理教程|刚体定轴转动

1.刚体和刚体的运动

刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体。绝对刚体实际上是不存在的，它只是一种理想模型。刚体的运动可以分为平动和转动两种基本运动，其他任何的复杂运动都可视为这两种基本运动的合成。刚体运动过程中，若各质点运动轨迹都保持完全相同，即刚体内任意两质点的连线始终平行于它们初始位置间的连线（如图4-1所示），则该运动为刚体的平动。若刚体内各质点在运动过程中均绕某一直线作圆周运动，则将这种运动称为刚体的转动（如图4-2所示），该直线称为转轴（转轴可在刚体内部，也可在刚体外部）。

图4-1　刚体的平动

图4-2　刚体的转动

2.刚体转动的角速度和角加速度

在刚体转动中，若转轴的位置或方向是随时间变化的，这样的运动称为刚体的非定轴转动，该轴为瞬时转轴。若转轴固定不动，即位置和方向不随时间变化，刚体中各质元均作圆周运动，且各圆心都在转轴上，此时刚体的运动叫作刚体的定轴转动，该轴称为固定转轴。

选一个垂直于转轴的转动平面，以该转动平面与转轴的交点为原点，取一极轴Ox，如图4-3所示，转动平面上任一质点对原点的位矢r与极轴的夹角θ称为角位置。当刚体绕固定轴转动时，角位置θ会随时间t改变。如图4-4所示，一刚体绕固定轴Oz转动。在t时刻，刚体上点P的角位置为θ，经过时间间隔Δt，点P的角位置为θ+Δθ，Δθ（即末时刻与初时刻的角位置之差）为刚体在时间间隔Δt内的角位移，在t到t+Δt时间内的角位移Δθ与Δt的比值称为刚体的平均角速度，用ω表示，即

图4-3　刚体的定轴转动

图4-4　角速度

当Δt→0时，平均角速度的极限称为瞬时角速度，简称角速度，用ω表示，即

沿着转轴从上往下看，刚体的定轴转动有顺时针和逆时针两种情形，为了区别两种转动，我们规定：当刚体顺时针转动时，其角位置及角速度方向为正；当刚体逆时针转动时，其角位置及角速度方向为负。由此可以看出来，角速度是一个有方向的量。角速度的单位是弧度每秒（rad/s）。

刚体在作定轴转动时，其角速度的方向只需用正负表示即可；刚体在作非定轴转动时，需要用角速度矢量ω表示。角速度矢量ω的方向由右手定则确定：如图4-5所示，右手四指按照刚体转动方向弯曲，拇指伸直，此时拇指所指方向为角速度ω的方向。

在时间间隔Δt内，角速度的增量Δω与Δt的比值称为该时间段内刚体的平均角加速度，用表示，即

图4-5右手定则(www.xing528.com)

当Δt→0时，平均角加速度的极限称为瞬时角加速度，简称角加速度，用α表示，即

对于刚体的定轴转动，角加速度α的方向可以用其正负来表示。角加速度的单位是弧度每二次方秒（rad/s2）。

3.角量和线量的关系

在作定轴转动时，刚体上各质元的角量，即角位置、角速度和角加速度均相同，但由于各质元作圆周运动的半径不尽相同，故各质元的线量，即速度和加速度不一定相同。由于刚体作定轴转动时各质元均作圆周运动，因此我们可以使用第1章有关圆周运动中所学的角量与线量的关系来对其进行描述。

如图4-6所示，一刚体绕固定轴OO′以角速度ω转动，刚体中某一质点P到转轴的距离为r，则点P的线速度与角速度的关系为

图4-6　角量与线量的关系

切向加速度和法向加速度分别为

表4-1列出了质点的匀变速直线运动中的线量与刚体的定轴转动中的角量的对比关系。

表4-1　质点的匀变速直线运动和刚体的定轴转动的对比关系

例4-1　在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转。开始启动时，转子角速度为零。启动后转子转速随时间变化关系为：ω=ωm（1-e-t/τ）。式中ωm=540 r·s-1，τ=2.0 s。求：（1）t=6 s时电动机的转速；（2）启动后，电动机在t=6 s时间内转过的圈数；（3）角加速度随时间变化的规律。

解　（1）将t=6 s代入ω=ωm（1-e-t/τ），得

（2）电动机在6 s内转过的圈数为

（3）电动机转动的角加速度（单位为rad·s-2）为