大学物理教程：刚体转动定律

1.力矩

在研究刚体的定轴转动时，我们发现力对于转动的影响不仅与力的大小有关，还取决于力的作用点和力的方向。因此我们需要一个新的物理量——力矩，来描述力对刚体转动的影响。

设一刚体在力F作用下绕Oz轴转动，在刚体上取力F作用点A所在的一个横截面Oxy，点A对原点O的位矢为r，定义力F对Oz轴的力矩为

由此可见，力矩M是矢量，它的大小为M=rF sinθ（θ为r和F的夹角），方向垂直于r和F所决定的平面，根据右手螺旋法则确定其指向。在国际单位制（SI）中，力矩的单位是N·m（牛·米），力矩的量纲为ML-2T-2。

例4-2　质量为m，长为L的细杆在水平粗糙桌面上绕过其一端的竖直轴旋转，如图4-7所示。杆的密度与离轴的距离成正比，杆与桌面间的摩擦因数为μ，求摩擦力矩。

图4-7　例4-2图

分析　由于细杆绕过其一端的竖直轴旋转，在细杆上不同位置处的摩擦力对竖直轴的力矩将不一样，应用积分计算。

解　建立如图4-7所示的坐标系，设细杆的线密度为λ=kr。

由题意已知细杆质量为m，由此可以确定比例系数k，在r处，长dr的细杆的质量为

则dm处摩擦力的大小为

dm处的摩擦力对竖直轴的力矩为

总摩擦力矩为

式中，负号表示摩擦力矩的方向与角速度ω方向相反，阻碍细杆的旋转。

2.刚体绕定轴转动的转动定律

实验证明，只有当某个力对转轴的力矩不为零时，该力才会对转轴有转动效应。作用在刚体上的某个力，其平行于转轴的分量对转轴的力矩为零，因此在研究引起定轴转动的刚体的转动状态发生变化的原因时，我们只需要考虑该力在转动平面内的分量对转轴的力矩。

如图4-7所示，一刚体绕Oz轴转动，在刚体中任取一质量为Δmi的质元，该质元绕Oz轴作半径为ri的圆周运动，设它所受到的合外力在转动平面内的分量为Fi，刚体内其他质元对其作用的合内力在转动平面内的分量为fi，由牛顿第二定律可知该质元的运动方程为

图4-8　转动定律

以Fit和fit分别表示这两个力在切向的分力，则该质元的切向运动方程为

式中，ait为质元的切向加速度，由at=rα可得

式（4-11）两边各乘以ri，得

式中，Firi和firi分别是两个力切向分量的力矩。考虑到这两个力的法向分量均通过Oz轴，故其力矩为零。所以，式（4-12）左边即表示质元Δmi所受到的合力矩。

考虑到刚体内所有质点，可得

又考虑到刚体中质元之间的作用力与反作用力总是成对出现，且每一对作用力与反作用力对同一转轴的力矩之和为零，所以刚体中内力对转轴的合力矩为零，则式（4-13）可写成

式中，∑Firi为刚体内所有质元所受外力对转轴的力矩的代数和，即合外力矩，用M表示。则式（4-14）可改写为(www.xing528.com)

式中，仅由各质元相对于转轴的分布决定，可由一个物理量来表示。令J=，并称其为转动惯量。

这样，式（4-15）可写成

式（4-16）表明，刚体绕固定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。或者说绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。这就是刚体的定轴转动的转动定律（简称转动定律）。转动定律是解决刚体的定轴转动问题的基本定律，它在定轴转动中的地位相当于牛顿第二定律在平动中的地位。

3.转动惯量

通过式（4-16）不难看出，当不同的刚体受到相同的合外力矩时，刚体的转动惯量越大，其转动状态越难以改变。因此，转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量。

根据可以看出，一个刚体的转动惯量为刚体内每一个质元的质量与各质元到转轴距离的平方的乘积之和。

如果是单个质点绕一定轴转动，其转动惯量为

如果是质量连续分布的刚体绕一定轴转动，其转动惯量为

在国际单位制中，转动惯量的单位名称为千克二次方米，符号为kg·m2，量纲为ML2。

刚体的转动惯量与以下三个因素有关：

（1）刚体的质量；

（2）刚体质量相对转轴的分布；

（3）转轴的位置。

还需指出，对于形状规则、质量连续均匀分布的刚体，可以用积分的方法计算出其转动惯量。对于任意刚体的转动惯量，一般用实验的方法测定。且转动惯量具有可加性，即整个刚体对某一转轴的转动惯量等于各个组成部分对该转轴的转动惯量之和。

例4-3　如图4-9所示，质量为m、长为l的匀质杆，求：（1）它对过质心且与其垂直的C轴的转动惯量为多少？（2）它对过一端且平行于C轴的A轴的转动惯量为多少？

图4-9　例4-3图

解　（1）取如图4-9（a）所示的坐标，则

（2）取如图4-9（b）所示的坐标，则

4.平行轴定理

如图4-10所示，若一个刚体绕某一通过刚体质心的OC轴转动，且刚体对该轴的转动惯量为JC，那么刚体绕另一与OC轴平行的z轴转动时，刚体对z轴的转动惯量为

图4-10　平行轴定理

式中，m为刚体质量；d为两平行轴之间的距离。上述关系叫作转动惯量的平行轴定理。在例4-3中，第（1）问求出匀质杆绕质心轴转动的转动惯量为，根据平行轴定理，匀质杆绕一端转动的转动惯量为