旋转矢量A在大学物理教程中的应用

为了更直观地描述简谐运动的规律，还可采用旋转矢量法，作旋转矢量图。

如图5-5所示，在Oxy平面上自原点O创建一矢量A，它的模等于简谐振动的振幅A，并令t=0时A与x轴的夹角等于简谐振动的初相φ0，然后使A以等于圆频率ω的角速度在平面上绕原点O逆时针匀角速转动，这样的矢量称为旋转矢量。显然，旋转矢量A任一时刻在x轴上的投影A cos（ωt+φ0）恰是式（5-1）描述的沿Ox轴作简谐振动的物体t时刻相对于原点O的位移。如图5-6所示，矢端沿圆周运动的速度大小为vm=ωA，其方向与x轴的夹角等于ωt+φ0+，在x轴上的投影为=-ωA sin（ωt+φ0），这正是式（5-6）给出的物体作简谐振动的速度公式；矢端作圆周运动的向心加速度大小为an=ω2A，它与x轴的夹角为ωt+φ0+π，加速度在x轴上的投影为a=ancos（ωt+φ0+π）=-ω2A cos（ωt+φ0），这正是式（5-7）给出的物体作简谐振动的加速度公式。

图5-5　旋转矢量图

图5-6　旋转矢量图中的速度和加速度

从上面的讨论可知，简谐振动中速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比速度的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前π。

例5-4　一质点沿x轴作简谐振动，A=0.1 m，T=2 s。t=0时，x0=0.05 m，且v0＞0，求：（1）质点的振动方程；（2）t=0.5 s时质点的位置、速度和加速度；（3）若某时刻质点在x=-0.05 m处且沿x轴负向运动，质点从该位置第一次回到平衡位置的时间是多少？

解　（1）设振动方程为x=A cos（ωt+φ），已知：A=0.1 m，ω==πrad·s-1；t=0时，x0=，v0＞0。

由图5-7可知φ=-，则(www.xing528.com)

图5-7　例5-4图

（2）t=0.5 s时，质点的位置、速度和加速度分别为

（3）当x=-0.05 m，v＜0时，由图5-8，得

图5-8　例5-4图

第一次回到平衡位置时：

两位置相位差为

旋转矢量转过Δφ需要的时间为：