常见简谐振动|大学物理教程

1.单摆

如图5-9所示，长为l且不可伸长的轻绳，一端固定在点O，另一端悬挂一质量为m且可视为质点的小球，这样组成的系统称为单摆。

图5-9　单摆

小球处于点O的竖直位置时，作用在小球上的合外力为零，这就是系统的平衡位置。当摆线偏离平衡位置一个很小的角度θ（≤5°）时，在重力和轻绳拉力作用下，小球在竖直平面内绕点O沿圆弧摆动。轻绳拉力对点O的力矩为零，因此，重力与轻绳对点O的力矩为

式中，负号表示力矩方向与角位移θ的方向相反，考虑到θ很小，有sinθ≈θ。根据转动定律M=Jα，J=m l2，不计阻力时，小球的运动微分方程为

令，代入上式，可得

上式为二阶常系数线性微分方程，其解为

比较式（5-12）与式（5-1）可知，在不计阻力情况下单摆作小角度的摆动是简谐振动。

对于单摆，圆频率为，固有周期为，频率为

例5-5　今有一单摆，其l=0.8 m、m=0.30 kg。将该单摆向右拉离平衡位置5°后自由释放，其旋转矢量图如图5-10所示。求：（1）ω、T；（2）θ0、φ，以及振动方程；（3）最大角速度ωmax；（4）轻绳中最大张力Tmax。

图5-10　例5-5图

解　（1）ω==3.5 rad·s-1，T==1.795 s。(www.xing528.com)

（2）由图5-10可得φ=0，θ0=5°=0.087 rad，θ=0.087cos 3.5t。

（3）最大角速度=θ0ω=0.305 rad·s-1。

（4）张力T=mgcosθ+。当θ=0，即单摆处于平衡位置时，张力最大，故

2.复摆

如图5-11所示，质量为m的任意形状的刚体，被支持在无摩擦的转轴O上，忽略空气阻力，将它从平衡位置拉开一个微小的角度θ后释放，则刚体绕转轴O作微小的自由摆动，这样的装置叫复摆。下面分析复摆在摆角很小时的运动规律。

图5-11　复摆

复摆对转轴O的转动惯量为J，复摆的质心C到转轴O的距离OC=l。摆角为θ时复摆所受的重力矩为

当摆角很小时sinθ≈θ，由转动定律M=Jα可得

令，则复摆的运动微分方程为

式（5-13）与弹簧振子和单摆（小角度）的微分方程形式相同，所以在不计摩擦阻力情况下复摆作小角度的摆动是简谐振动。圆频率为，周期为，频率为ν=

综上分析可知，尽管维持振动的机制不同，描述系统位置的变量不同，只要运动微分方程在形式上与式（5-4）相同，它们就作简谐振动。