理想气体的压强和温度-《大学物理教程》

热力学系统是由大量分子、原子等无规则运动的微观粒子组成，若要从微观上来讨论理想气体，了解其宏观状态参量（如温度、压强等）与微观粒子的运动之间的关系，首先应明确平衡态下理想气体分子的微观模型和性质。

1.理想气体的微观模型

从气体动理论的观点看，理想气体是一种理想化的气体模型，其微观模型是：

（1）分子本身的大小与分子间平均距离相比可以忽略不计，分子可以看作质点；

（2）除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力可忽略不计；

（3）气体分子间的碰撞以及气体分子与器壁间的碰撞可看作是完全弹性碰撞。

综上所述，理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。

含有大量分子的理想气体中，由于频繁的碰撞，一个分子的运动状态是极为复杂和难以预测的，而大量分子的整体却呈现确定的规律性，这是统计平均的效果。在平衡态时，理想气体分子的统计假设有：

（1）在无外场作用时，气体分子在各处出现的概率相同，平均而言，分子数密度n处处相同，沿各个方向运动的分子数相同；（2）分子可以有各种不同的速度，速度取向在各方向等概率。

平衡态时，气体的性质与方向无关，分子速度按方向的分布是完全相同的，各个方向上速率的各种平均值相等，即

2.理想气体的压强

从微观上看，单个分子对器壁的碰撞是间断的、随机的；而大量分子对器壁的碰撞是连续的、恒定的，也就是说气体对器壁的压强应该是大量分子对器壁不断碰撞的统计平均结果。同时注意到，平衡态时，气体内任一截面和容器壁上的压强都相同。

假设有一边长分别为x、y和z的长方形容器，贮有N个质量为m同类气体分子，如图8-2所示，在平衡状态下器壁各处压强相同，任选器壁的一个面，例如选择与x轴垂直的A1面，计算其所受压强。

图8-2　气体动理论的压强公式推导

在大量分子中，任选一个分子i，设其速度为

当分子i与器壁A1碰撞时，由于碰撞是完全弹性的，故该分子在x方向的速度分量由vix变为-vix，所以在碰撞过程中该分子的x方向动量增量为

由动量定理知，它等于器壁施与该分子的冲量，又由牛顿第三定律知，分子i在每次碰撞时对器壁的冲量为2mvix。

分子i在与A1面碰撞后弹回作匀速直线运动，并与其他分子相碰，由于两个质量相等的弹性质点完全弹性碰撞时交换速度，故可等价i分子直接飞向A2，与A2面碰撞后又回到A1面再作碰撞，分子i在相继两次与A1面碰撞的过程中，在x轴上移动的距离为2x，因此分子i相继两次与A1面碰撞的时间间隔为Δt=2x/vix。那么，单位时间内i分子对A1面的碰撞次数Z=1/Δt=vix/2x。所以，在单位时间内i分子对A1面的冲量为2mvix·。根据动量定理，该冲量就是i分子对A1面的平均冲力，即

所有分子对A1面的平均作用力为上式对所有分子求和，即(www.xing528.com)

由压强定义有

分子数密度，x轴方向速度平方平均值

有。在平衡态下有，及。所以有

如果以表示分子平均平动动能，有，则上式为

式（8-2）叫作理想气体的压强公式，它表明气体作用于器壁的压强正比于单位体积内的分子数n和分子平均平动动能。分子数密度越大，压强越大；分子的平均平动动能越大，压强也越大。实际上，分子对器壁的碰撞是断续的，分子施于器壁的冲量的大小涨落不定，所以压强p是一个统计平均量。而气体中单位体积内的分子数也是涨落不定的，所以n也是一个统计平均量。因此式（8-2）是表征三个统计平均量p、n之间相互联系的一个统计规律，而不是一个力学规律。

3.温度与分子平均平动动能的关系

温度是热学中特有的一个物理量，它在宏观上表征了物质冷热状态的程度。那么温度的微观本质是什么呢？

将理想气体状态方程式（8-1）变为

式中，N是体积V中的气体分子数；NA是阿伏伽德罗常数；n是分子数密度。

令=1.38×10-23J·K-1，k为玻尔兹曼常数，于是理想气体状态方程为

将式（8-2）与式（8-3）比较，可得

这就是理想气体分子的平均平动动能与温度的关系式，如同压强公式一样，它也是气体动理论的基本公式之一。式（8-4）表明，处于平衡态时的理想气体，其分子的平均平动动能与气体的温度成正比。气体的温度越高，分子的平均平动动能越大；分子的平均平动动能越大，分子热运动的程度越激烈。因此，我们可以说温度是表征大量分子热运动激烈程度的宏观物理量，它是大量分子热运动的集体表现。如同压强一样，温度也是一个统计量。对个别分子来说，说它有多少温度是没有意义的。

例8-1　一容器内储有氧气，其压强为p=1.01×105Pa，温度为t=27℃。求：（1）单位体积内的氧分子数；（2）氧分子的质量；（3）氧分子的平均平动动能。

解　（1）根据p=nkT，得单位体积内的氧分子数n为

（2）氧分子的摩尔质量为32.00×10-3kg·mol-1，由M=mNA，可得氧分子的质量m为

（3）氧分子的平均平动动能为

计算结果表明，单个气体分子的质量和平均平动动能都是非常小的，而常温常压下一定体积内的分子总数则是十分巨大的。