大学物理教程：真空中静电场的高斯定理

上节研究了描述电场性质的重要物理量——电场强度，并从叠加原理出发讨论了点电荷系和带电物体的电场强度。为了更加形象地描述电场，这一节将在介绍电场线的基础上，引进电场强度通量的概念，并导出静电场的高斯定理。

1.电场线

电场中每一点的电场强度E都有一定方向，我们可以在电场中描绘一系列曲线，使得这些曲线上每一点的切线方向都与该点电场强度E方向一致，这些曲线称为电场线。图10-8给出了几种典型电场的电场线。

图10-8　几种典型电场的电场线

（a）正电荷；（b）负电荷；（c）两个等量正电荷；（d）两个等量异号电荷；（e）两个不等量异号电荷；（f）两个等量异号电荷平面

静电场的电场线具有的性质：（1）电场线起始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处），不形成闭合曲线；（2）任何两条电场线都不能相交，这是因为电场中每一点处的电场强度只能有一个确定的方向。

为了使电场线既能表示电场强度的方向又能表示其大小，在画电场线时规定：使穿过垂直于电场强度方向的面积元ΔS⊥的电场线条数ΔN与该面积元的比值ΔN/ΔS⊥等于该点的电场强度大小，即

这样，电场线的疏密程度就反映了电场强度大小的分布情况。

2.电场强度通量

通过电场中任一给定面的电场线条数称为通过该面的电场强度通量（简称电通量），用符号Φe表示。

在匀强电场E中，通过与E方向垂直的平面S[如图10-9（a）所示]的电通量为

图10-9　电场强度通量的计算

（a）Φe=ES；（b）Φe=E·S；（c）Φe=∫sE·dS

若平面S的正法线方向的单位矢量（以下简称正法线矢量）en与E方向的夹角为θ，则S在垂直于E的方向上的投影面积为S′=S cosθ，通过平面S的电通量等于通过面积S′的电通量，即

其中面积矢量S=S en，en为S法线方向单位矢量，如图10-9（b）所示。

计算非匀强电场中通过任意曲面S的电通量时，要把该曲面划分为无限多个面元。一个无限小的面元dS的正法线矢量en与电场强度E的夹角为θ，如图10-9（c）所示，则通过面元dS的电通量为dΦe=E·dS，通过曲面S的总电通量等于通过各面元的电通量的总和，即

当面S为闭合曲面时，式（10-14）为

这时规定：面元dS的正法线矢量en的方向为指向闭合面的外侧。因此，电场线穿出曲面的地方，电通量为正值；电场线穿入曲面的地方，电通量为负值。

例10-4　三棱柱体放置在如图10-10所示的匀强电场中，求通过此三棱柱体的电场强度通量。

图10-10　通过三棱柱体的电场强度通量

解　三棱柱体表面为一闭合曲面，由5个平面构成，其中MNPOM所围的面积为S1，MNQM和OPRO所围的面积为S2和S3，MORQM和NPRQN所围的面积为S4和S5，那么，在此匀强电场中通过S1、S2、S3、S4和S5的电场强度通量分别为Φe1、Φe2、Φe3、Φe4和Φe5，故通过闭合曲面的电场强度通量为

由式（10-14）可求得通过S1的电场强度通量为

从图中可见，面S1的正法线矢量en的正方向与E的方向之间夹角为π，故

而面S2、S3和S4的正法线矢量en均与E垂直，故

对于面S5，其正法线矢量en与E的夹角为0＜θ＜π/2，故

而S5cosθ=S1，所以

则有

上述结果表明，在匀强电场中穿入三棱柱体的电场线与穿出三棱柱体的电场线相等，即穿过闭合曲面（三棱柱体表面）的电场强度通量为零。

3.高斯定理

高斯定理是静电场的一条基本原理，它给出了静电场中通过任一闭合曲面的电通量与该闭合曲面内所包围的电荷之间的量值关系，可以通过库仑定律和电场强度叠加原理推导。(www.xing528.com)

（1）先讨论点电荷电场的情况。以点电荷q为中心，取任意长度r为半径作闭合曲面S包围点电荷，如图10-11所示，在S上取面元dS，其正法线矢量en与面元处的电场强度E方向相同，所以，通过dS的电通量为

图10-11　点电荷（球面）

将点电荷电场强度公式（10-4）代入上式，有

通过整个闭合球面S的电通量为

（2）如图10-12所示，若包围点电荷q的曲面是任意形状的闭合曲面S′，结果会怎么样？可以在曲面S′外再作一个以q为中心的球面S，由于S和S′之间没有其他电荷，从q发出的电场线不会中断，所以通过闭合面S和S′的电场线数目一样，因此通过任意形状的包围点电荷q的闭合面的电通量都等于

图10-12　点电荷（任意闭合曲面）

（3）如果点电荷q在闭合曲面之外，闭合曲面内不包围电荷，如图10-13所示，只有与闭合曲面相切的锥体范围内的电场线才能通过闭合曲面S，由电场线的连续性可知，从一侧进入S面的电场线一定从另一侧穿出S面，即通过闭合曲面S的电通量为零，故

图10-13　点电荷在闭合曲面外

此式表明，电场中闭合曲面以外的电荷对通过该闭合曲面的电通量无贡献。

（4）在一般情况下，电场是由多个点电荷产生的，设场源电荷的电荷量分别为q1，q2，…，qk，其中q1，q2，…，qn在任意闭合曲面S之内，qn+1，qn+2，…，qk在任意闭合曲面S之外，由叠加原理可知，电场中任意点的电场强度为

式中，E1，E2，…，Ek为各点电荷单独存在时该场点的电场强度。则通过闭合曲面S的电通量为

由上面的讨论可知，当qi在闭合曲面内时，电通量当qi在闭合曲面外时，电通量，因此，上式可以写成

式中，表示闭合曲面内所含电荷的代数和。式（10-17）就是真空中静电场的高斯定理。其表明：在真空静电场中，穿过任意闭合曲面的电场强度通量等于闭合曲面所包围的所有电荷的代数和除以ε0。

应当指出，高斯定理说明通过闭合曲面的电通量只与该闭合曲面所包围的电荷有关，但电场中任一点的电场强度是由所有场源电荷（即闭合曲面内、外所有电荷）共同产生的。

4.高斯定理的应用

高斯定理的一个应用就是计算带电体周围电场的电场强度。如所论及的电场是均匀的电场，或者电场的分布是对称的时候，就为我们选取合适的闭合曲面（高斯面）提供了条件，从而使面积分变得简单易算，所以分析电场的对称性是应用高斯定理求电场强度的一个十分重要的问题，下面将举例说明如何应用高斯定理来计算对称分布电场的电场强度。

例10-5　设有一半径为R，均匀带正电Q的球面。求球面内外任意点的电场强度。

解　由于电荷分布是球对称的，可判断出空间电场强度分布必然是球对称的，即与球心O距离相等的球面上各点的电场强度大小相等，方向沿半径呈辐射状。

设空间某点P到球心距离为r，取以球心为中心、r为半径的闭合球面S为高斯面，则S上的面元dS的正法线矢量en与面元处电场强度E的方向相同，且高斯面上各点的电场强度大小相等。所以

图10-14　球面内外任意点的电场强度

当P点在带电球面内时（r＜R），有

则E=0，即球内电场强度为零。

当P点在带电球面外时（r＞R），有

根据静电场高斯定理得，方向沿着矢径朝外，写成矢量形式有

例10-6　设有一无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷（即电荷线密度）为λ，如图10-15所示，求距直线为r处的电场强度。

图10-15　无限长均匀带电直导线的电场强度

解　由于带电直线无限长，且电荷分布均匀，所以其电场强度E沿垂直该直线的矢径方向，而且在距直线等距离处各点E的大小相等，也就是说，无限长均匀带电直线的电场是轴对称的。如图10-15所示，直线沿z轴放置；点P在Oxy平面上，距z轴为r。取以z轴为轴线的正圆柱面为高斯面，其高度为h，底面半径为r，由于E与上、下底面的法线垂直，所以通过圆柱两个底面的电场强度通量为零。而通过圆柱侧面的电场强度通量为E2πrh，又因为此高斯面所包围的电荷为λh，所以根据高斯定理有

由此可得