大学物理教程：静电场导体

1.静电平衡

众所周知，导体内部存在大量的自由电荷，而金属导体中的自由电荷就是自由电子。当把不带电的金属导体放在外电场E0中，导体中的自由电子在作无规则热运动的同时，还将在电场力作用下作定向运动，从而使导体中的电荷重新分布，结果会使导体两端分别出现等量的正负电荷。这种现象叫作静电感应现象。

导体由于静电感应而带有的电荷，称为感应电荷。感应电荷必然在空间激发电场，这个电场与原来的电场相互叠加，因而改变了空间各处电场分布。我们把感应电荷产生的电场称为附加电场，用E′表示，如图11-1所示。则空间任意一点的电场强度为

图11-1　静电感应

在电场中，导体电荷重新分布的过程一直持续到导体内部的电场强度等于零，即E=0时为止。这时，导体内没有电荷作定向运动，导体处于静电平衡状态。

在静电平衡时，不仅导体内部没有电荷作定向运动，导体表面也没有电荷作定向运动，这就要求导体表面电场强度的方向应与表面垂直，假若导体表面处电场强度的方向与导体表面不垂直，则电场强度沿表面将有切向分量，自由电子受到与该切向分量相对应的电场力的作用，将沿表面运动，这样就不是静电平衡状态了。所以，当导体处于静电平衡状态时，必须满足以下2个条件：

（1）导体内部任何一点处的电场强度为零；

（2）导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直。

导体的静电平衡条件，也可以用电势来表述。由于在静电平衡时，导体内部的电场强度为零，因此，如在导体内取任意两点A和B，这两点间的电势差U为零，即

这表明，在静电平衡时，导体内任意两点的电势是相等的。至于导体的表面，由于在静电平衡时，导体表面的电场强度E与表面垂直，其切向分量Et为零，因此导体表面任意两点的电势差亦为零。故在静电平衡时，导体表面为一等势面。不言而喻，静电平衡时导体内部与导体表面的电势是相等的，否则就仍会发生电荷的定向运动，总之，当导体处于静电平衡时，导体上的电势处处相等，导体为一等势体。

2.静电平衡时导体上的电荷分布

在静电平衡时，带电导体的电荷分布可用高斯定理来进行讨论。

（1）由于静电平衡时导体内部E=0，在导体内部作高斯面，按高斯定理有

于是，此高斯面所包围的电荷的代数和必然为零，即净电荷只分布在导体的表面上，导体内部没有净电荷。

（2）如图11-2所示，在导体表面之外附近空间取一点P，以E表示该处电场强度。在点P附近的导体表面取一面元ΔS，当ΔS取得足够小时，可认为该面元上的电荷面密度σ是不变的。围绕ΔS作一扁圆柱形高斯面，使圆柱侧面与ΔS垂直，上底面通过点P，下底面在导体内部。由于导体内部的电场强度为零，所以通过底面的电通量为零；在侧面上，电场强度要么为零，要么与侧面法线垂直，所以通过侧面的电通量也为零，所以通过闭合曲面的总的电通量等于通过上底面的电通量，根据高斯定理可有

式（11-1）表明，带电导体处于静电平衡时，导体表面之外非常邻近表面处的电场强度E，其数值与该处电荷面密度成正比，其方向与导体表面垂直。当表面带正电荷时，E的方向垂直表面向外；当表面带负电荷时，E的方向垂直表面向里。

图11-2　带电导体表面

式（11-1）只给出电荷面密度σ与导体邻近表面E之间的关系。但带电导体在静电平衡后表面电荷的分布不仅与导体本身的形状有关，还与周围的环境有关。一个孤立导体表面电荷面密度的大小与表面的曲率有关，导体表面曲率（曲率是曲率半径的倒数）大的地方，其电荷面密度大，曲率小的地方，其电荷面密度小，如图11-3所示。

图11-3　带电导体表面曲率较大处附近的电场要强些

孤立导体的尖端部分曲率大，其电荷面密度非常大，所以尖端附近的电场强度特别强，如图11-4所示。当达到一定量值时，空气中残留的带电离子在这个电场作用下将发生激烈运动，并与空气中分子碰撞，使大量的中性分子被电离成电子和正离子。结果，在尖端附近的空气中产生许多可以自由运动的电荷。本来不导电的空气变成了导体，空气中那些与尖端的电荷异号的电荷被吸引到尖端并与尖端上的电荷中和，那些与尖端同号的电荷被排斥而飞向远方，形成电风，这种现象称为尖端放电。

图11-4　带电导体尖端附近的电场最强(www.xing528.com)

尖端放电时，尖端附近往往隐隐地笼罩一层光晕，叫作电晕，电晕浪费了大量的电能。为了防止因尖端放电造成危险和电能的浪费，高压设备的电极常常制作成光滑的球面，输电线表面应尽可能光滑，半径不宜过小。应用尖端放电的典型例子是避雷针，为了使高大建筑物不受雷击，可在其顶部安装避雷针（尖端导体），使其与大地保持良好的电接触，当带电的云层接近时，避雷针持续不断地放电，便可避免雷击。

3.导体壳和静电屏蔽

1）空腔内无带电体的情况

如果有一空腔导体，如图11-5所示，在导体内取高斯面S，由于在静电平衡时，导体内的电场强度为零，所以S面所包围的区域里净电荷为零。即导体空腔内表面的净电荷为零，这可能有两种情况：第一种情形是等量异号电荷宏观相分离，并处于内表面的不同位置上；第二种情形是内表面处处电荷都为零。实际上，第一种情形是不可能出现的，因为一旦出现了这种情形，在正电荷的地方将发出电场线，此电场线必然要终止于负电荷的地方，这就与处于静电平衡的金属导体是等势体的结论相违背。所以只能是第二种情形，即内表面上处处没有电荷。此时，如果空腔导体本身带电量为+q，则电荷只能分布在导体外表面，外表面所带电荷量为+q。由此可见，空腔内的电场强度为零，这表明空腔导体确实能屏蔽空腔外部的电荷对空腔内部的影响。

图11-5　空腔内无带电体的情况

2）空腔内有带电体的情况

如图11-6所示，在空腔内放一带电体+q，我们可以同样在导体内取高斯面S，由静电平衡和高斯定理不难求出S面内电荷代数和为零，所以导体内表面所带电荷与空腔内带电体的电荷等量异号。腔内电场线起自带电体+q，而终止于内表面上的感应电荷-q，腔内电场不为零。同时，外表面相应地出现感应电荷+q。此时，如果空腔导体本身不带电，则外表面只有感应电荷+q，如果空腔导体带电量为Q，则外表面所带电荷量为（Q+q）。

若把空腔导体接地，则外表面的电荷被中和，空腔导体电势为零。由于空腔导体外没有电荷分布，所以也就没有电场。可见一个接地的空腔导体能屏蔽空腔内电荷对空腔导体外部的影响。

图11-6　空腔内有带电体的情况

3）静电屏蔽

综上所述，空腔导体（无论是否接地）将使空腔内空间不受外电场的影响，而接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场影响，这是空腔导体的静电屏蔽作用。在实际工作中，常用编织得相当紧密的金属网来代替空腔导体。例如高压设备周围的金属网，校测电子仪器的金属网屏蔽室都能起到静电屏蔽的作用。

例11-1　一外半径为R1，内半径为R2的金属球壳，在球壳中放一半径为R3的与球壳同心的金属球，使球壳和球均带有+q的电荷量，问两物体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？

解　为计算球心的电势，必须先计算出各点的电场强度。由于这里电场具有球对称性，因此可用高斯定理来计算各点的电场强度。

先从球心开始，如取以r＜R3的球面S1为高斯面，则由导体的静电平衡条件，球内的电场强度为

在球与球壳之间，作R3＜r＜R2的球面S2为高斯面，在此高斯面内的电荷仅是半径为R3的球上的电荷+q，由高斯定理有

而对于所有R2＜r＜R1的球面S3上的各点，由静电平衡条件知

由高斯定理可知，球面S3内所含电荷代数和为零，已知金属球的电荷为+q，所以球壳的内表面上的电荷必为-q，这样，球壳的外表面的电荷就应该是+2q。

在球壳外取r＞R1的球面S4为高斯面，在此高斯面内含有的电荷为∑q=q-q+2q=2q，所以由高斯定理可得

由电势的定义式，得球心的电势为

把（1）、（2）、（3）、（4）代入上式可得