大跨度屋盖抗风设计基于风压谱的理论成果

实际结构为多自由度（multiple degrees of freedom，MDOF）体系。对于自由度数为ND的结构，在脉动风荷载作用下的运动方程为：

式中，M，C，K分别为结构质量、阻尼和刚度矩阵（ND×ND）；p(t)为各加载节点的脉动风压力时程向量（NL×1，NL为风荷载加载的节点数），R为坐标转换矩阵（ND×NL）；分别为结构各自由度的位移、速度、加速度响应时程向量（ND×1）。

求得位移后，可根据式（2-61）可求得结构的响应（内力、支反力），

式中，r(t)为风致响应（内力、支反力）时程向量（NR×1，NR为所考察的内力或支反力总数），I为影响面矩阵（NR×ND）。

2.4.2.1　直接积分法

对于多自由度体系，需考察位移协方差矩阵Σx（ND×ND）。根据随机振动理论，可表示为，

式中，为风压力互功率谱矩阵（NL×NL），主对角元素为风压力自功率谱，非主对角元素为两节点间风压力互功率谱；H(ϖ)为频响函数矩阵（ND×ND），T表示转置。

由式（2-62），可得根据位移协方差矩阵Σx到响应（内力、支反力）协方差矩阵Σr（NR×NR），

通过式（2-64）求解风振响应的方法称为直接积分法，该方法是频域计算最基本、最传统的方法。该方法能够直接考虑模态耦合效应，需要直接对耦合的频响函数矩阵进行频域积分，通常只能采用数值积分的方法，求解精度可能受频率分辨率、截断频率等因素的影响。

2.4.2.2　模态分解法

结构动力学中还采用广义特征值分析对式（2-60）的微分方程组解耦，称为模态（振型）分解法。式（2-60）的频率方程为，

式（2-65）的ND个正实根ωnj（j=1，2，…，ND）为刚度矩阵K相对于质量矩阵M的广义特征值的平方根，称为结构的自振频率。相应地，对于第j阶自振频率，有特征方程（j=1，2，…，ND），

可得到广义特征向量φj（j=1，2，…，ND）即为对应于自振频率ωnj的模态（振型）向量（ND×1）。将模态向量按列组装，称为模态（振型）矩阵（ND×ND）。(www.xing528.com)

利用模态矩阵Φ对位移x（t）进行坐标转换，

式中，为模态响应时程向量（ND×1），由各阶模态响应时程yj(t)（j=1，2，…，ND）组成。

将质量、刚度矩阵对角化，得到广义质量矩阵（这里规定，将广义质量矩阵归一化为ND阶单位矩阵）和广义刚度矩阵采用比例阻尼（如Rayleigh阻尼）的情况下，广义阻尼矩阵为与各阶模态的阻尼比ζnj（j=1，2，…，ND）有关的对角矩阵。这样，式（2-60）两边都乘以矩阵ΦT，得到解耦的运动方程，

式中，为各阶模态的模态荷载。

则频响函数矩阵式（2-62）可以对角化为，

式中，为ND阶对角矩阵函数，称为模态频响函数矩阵，为第j阶模态频响函数，多项式为第j阶模态滤波多项式（j=1，2，…，ND）。将式（2-70）代入式（2-64）得，

进一步分析式（2-71）中被积函数矩阵的意义，根据式（2-67）、（2-61）可得，位移协方差矩阵Σx、响应协方差矩阵Σr可表示为，

式中，为响应模态矩阵（NR×ND），其列向量ψj =Iφj（j=1，2，…，ND）为各阶响应模态向量（NR×1）。为模态响应协方差矩阵为第j、k阶模态响应的协方差（j，k=1，2，…，ND）。由于为模态频响函数矩阵V(ω)为对角矩阵，式（2-73）可写为分量形式，表示为，

式中，为由第j、k阶模态滤波后的互谱响应矩阵（NL×NL），由一系列与a、b两点风压互谱和第j、k阶模态频响函数有关的频域积分σabjk（a，b=1，2，…，NL；j，k=1，2，…，ND）组成，

式中，即

通过上述推导可知，采用模态分解法求解结构风振响应的关键是对频域积分σabjk的求解。该积分从形式上可以看作是对互功率谱函数的滤波，根据2.3节阐述的滤波表示法的基本思想，若将风压互功率谱表示为有理函数的形式，即可通过2.3.2节的方法计算频域积分σabjk式（2-75）的解析表达式。第3、4章将针对风压谱的滤波表示进行探讨，并给出频域积分的解析解，并探讨两种积分方法的效率。

此外，采用模态分解法可以有针对性地对主导模态上的响应进行求解，忽略次要的模态响应，针对形式较为简单的结构可大为提高计算效率。但针对大型复杂结构在频域特性复杂的风荷载作用下，高阶模态对风振响应的贡献不可忽略，主导模态难于预先确定，且模态耦合效应也不可忽略。在这种情况下，采用模态分解法计算时，应充分考虑高阶模态和模态耦合的影响，计算量大幅度提高，甚至可能超过传统的频域计算方法。第4章也将针对该问题进行深入探讨。