测量误差基本知识：系统误差和偶然误差

（一）误差来源

测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件的不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。具体来说，测量误差主要来自以下三个方面：

（1）外界条件：主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。

（2）仪器条件：仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。

（3）观测者的自身条件：由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。

（二）误差分类

测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。

1.系统误差

在相同观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差的大小及符号表现出一致性倾向，即按一定的规律变化或保持为常数，这种误差称为系统误差。例如，用一把名义长度为30m，而实际长度为30.010m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少量0.010m，这0.010m的误差在数值上和符号上都是固定的，丈量距离愈长，误差也就愈大。

系统误差具有累积性，对测量成果影响较大，应设法消除或减弱。常用的方法有：对观测结果加改正数；对仪器检验与校正；采用适当的观测方法。

2.偶然误差

在相同观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差的大小及符号都没有表现出一致性的倾向，表面上看没有任何规律，这种误差称为偶然误差。例如，瞄准目标的照准误差、读数的估读误差等。

偶然误差是不可避免的。为了提高观测成果的质量，常用的方法是采用多余观测结果的算术平均值作为最后观测结果。

偶然误差具有如下四个特征：

（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。

（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多（或概率大）。

（3）绝对值相等的正、负误差出现的机会相等。

（4）在相同条件下，同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋于零。

（三）衡量精度的指标

1.中误差

在相同观测条件下，作一系列的观测，并以各个真误差的平方和的平均值的平方根作为评定观测质量的标准，称为中误差m，即：

式中 Δ——某量的真误差，即观测值与其真值之差；

n——观测值个数。

由上式可见，中误差不等于真误差，它仅是一组真误差的代表值，中误差的大小反映了该组观测值精度的高低。因此，通常称中误差为观测值的中误差。

2.极限误差

偶然误差第一特性表明，在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。如果某个观测值的误差超过这个限值，就会认为这次观测的质量差或出现错误而舍弃不用。这个限值称为极限误差（或容许误差）。

根据大量实验统计证明，绝对值大于二倍中误差的偶然误差，出现的概率不大于5%；大于三倍中误差的偶然误差，出现的概率不大于0.3%。《工程测量规范》（GB50026—2007）规定，以两倍中误差作为极限误差，即：

Δ_极=2m(www.xing528.com)

3.相对误差

中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。然而，有些量如长度，绝对误差不能全面反映观测精度，因为长度丈量的误差与长度大小有关。例如：分别丈量了两段不同长度的距离，一段为200m，另一段为300m，但中误差皆为±0.01m。显然不能认为这两段距离观测成果的精度相同。为此，需要引入“相对误差”的概念，以便能更客观地反映实际测量精度。

相对误差的定义为：中误差的绝对值与相应观测值之比，用K表示。相对误差习惯于用分子为1的分数形式表示，分母愈大，表示相对误差愈小，精度也就愈高。

4.误差传播定律

对于能直接观测的量，如角度、距离、高差等，经过多次观测后，便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标准。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这些未知量即为观测值的函数。例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数；在三角高程测量的计算公式中，如果视标高v等于仪器高i，则h=ltanδ，这时，高差h就是观测值l和δ的函数。

我们所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。

（1）倍数函数。设有函数：

Z=Kx

式中 x——直接观测值，其中误差为优；

K——常数；

Z——观测值x的函数。

若对x作n次同精度观测，则有：

m²_z=K²m²_x

或 m_z=Km_x

上式表明：对于倍数函数，函数的中误差等于观测值中误差的K倍。

（2）和、差函数。设有函数：

Z=x±y

式中 x——观测值；

y——观测值。

均作了n次观测，其中误差分别为m_x和m_y。可推导出：

m²_z=m²_x+m²_y

（3）一般线性函数。设有函数：

Z=K₁x₁±K₂x₂±…±K_nx_n

式中 K——常数；

x——独立观测值。

其相应的中误差分别为m₁、m₂、……、m_n。根据倍数函数与和差函数的中误差公式，可列出求一般线性函数中误差的公式为：

m²_z=（K₁m₁）²+（K₂m₂）²+…+（K_nm_n）²