稳定系统概念及车辆稳定控制技术

当某个控制系统加入典型输入信号后，分析其输出响应特性的动态性能和稳态性能，如果满足稳定过程对控制系统的性能要求，就称该系统为稳定系统。时域分析法是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时间响应，来分析控制系统的稳定和控制系统的动态性能及稳态性能。工程上常用单位阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标评价系统的优劣。控制系统经过参数整定和调试，其动态特征往往近似于一阶或二阶系统，因此一阶、二阶系统的理论分析结果，是高阶系统分析的基础。一阶系统的动态特性应用一阶微分方程描述。一阶系统只有一个系统参数，即时间常数T，它反映了一阶系统的惯性大小或阻尼程度。一阶系统的性能由其时间常数T唯一决定，时间常数T也可由实验曲线求出。

系统的性能分析，在控制理论中有着重要的地位。二阶系统含有两个系统参数，即阻尼比ξ和无阻尼振荡频率ω_n。阻尼比ξ决定着二阶系统的响应模态。ξ=0时，系统的响应为无阻尼响应；ξ=1时，系统的响应为临界阻尼响应；ξ＞1时，系统的响应为过阻尼响应；0＜ξ＜1时，系统的响应为欠阻尼响应。欠阻尼工作状态下，合理选择阻尼比ξ的取值，可使系统具有令人满意的动态性能指标。动态性能指标有t_r、t_p、t_s等，可以从响应曲线上读取；另外它们与ξ、ω_n有相应的关系，只要已知ξ、ω_n，就能求出动态性能指标，如图1-1所示。

1.动态性能指标

①最大超调量σ_p。

②上升时间t_r。

③峰值时间t_p。

④调整时间t_s。

2.稳态性能指标

稳态误差e_ss输出响应的稳态值与希望的给定值之间的偏差，是衡量系统准确性的重要指标。

图1-1 系统动态指标

1）稳定分析。控制系统是否稳定，是决定其能否正常工作的前提条件。不稳定系统在工程上多数无应用价值。稳定是指系统受到扰动偏离原来的平衡状态后，去掉扰动，系统仍能恢复到原工作状态的能力。应当特别注意，系统的稳定只取决于系统内部的系统及参数，而与初始条件和外作用的大小及形式无关。线性系统稳定的充分必要条件：系统的所有闭环特征根都具有负的实部，或闭环特征根都分布在左半s平面。判别系统的稳定，最直接的方法是求出系统的全部闭环特征根。但是求解高阶特征方程的根是非常困难的。工程上，一般均采用间接方法判别系统的稳定。劳斯判据是常用的一种间接判别系统稳定的代数稳定判据，可用来确定工作时，系统参数的允许变化范围。系统闭环特征多项式各项同号且不缺项，是系统稳定的必要条件。

2）稳态误差。稳态误差是系统很重要的性能指标，它标志着系统最终可能达到的控制精度。稳态误差定义为稳定系统误差信号的终值。稳态误差既和系统的参数有关，也取决于外作用的形式及大小。稳态误差可应用拉氏变换的终值定理计算，步骤如下：

①判别系统的稳定。只有对稳定的系统计算其稳态误差才有意义。

②根据误差的定义求出系统误差的传递函数。

③分别求出系统对给定和对扰动的误差函数。

④用拉氏变换的终值定理计算系统的稳态误差。

要注意，终值定理的使用条件为，误差的相函数在右半s平面及虚轴上（原点除外）解析。系统稳定是满足终值定理使用条件的前提。如果误差函数在右半s平面及虚轴上不解析，只能应用定义计算稳态误差。对三种典型函数（阶跃、斜波、抛物线）及其组合外作用，也可利用静态误差系数和系统的型数计算稳态误差。采用具有对给定或（和）对扰动补偿的复合控制方案，理论上可以完全消除系统对给定或（和）扰动的误差，实现输出对给定的准确复现。但工程上常根据输入信号的形式实现给定无稳态误差的近似补偿。

二阶系统的闭环传递函数：

式中 T——受控对象的时间常数；

K——受控对象的增益。(www.xing528.com)

其典型系统图如图1-2所示。

图1-2 二阶系统传递函数

式（1-1）可改写成标准形式：

式中 ω_n——无阻尼自然振荡频率，；

ξ——阻尼比，。

二阶系统动态性能指标的计算（0＜ξ＜1的欠阻尼情况）：

上升时间：

式中 ，。

峰值时间：

超调量：

调整时间：

衰减指数m和衰减率ψ：

高阶系统的动态响应，在工程中常采用主导极点的概念进行简化分析。闭环主导极点的基本概念：如果高阶系统中距离虚轴最近的一对共轭复数极点（或一个实极点）的实部绝对值仅为其他极点的1/5或更小，则系统的响应主要由这一对复数极点确定，称之为闭环主导极点。找到了主导极点，高阶系统就可以近似作为二阶或一阶系统来分析。控制系统受扰动偏离了平衡状态，当扰动消除后系统能自动恢复到原来的平衡状态，或能稳定在一个新的平衡状态，则称系统是稳定的，反之，称系统是不稳定的。系统的稳定是属于系统本身的特性，它只与自身的系统与参数有关，而与初始条件、外界扰动的大小等无关。系统的稳定取决于系统的特征根（极点），而与系统零点无关。一个稳定的系统在给定输入或扰动输入的作用下，经历过渡过程进入稳态后的误差，即。系统的稳态误差是对系统控制的准确性的度量，是系统的稳态性能指标。