多体理论研究车辆动力学及空气悬架系统

多体系统动力学的研究对象一般为比较复杂的多体系统，其结构和连接方式也是多种多样，并且系统的动力学方程多为高阶非线性方程。目前，多刚体系统动力学的研究方法呈现出百花齐放的现象，各种研究方法层出不穷，主要有工程中常用的经典力学方法(以牛顿-欧拉方程为代表的矢量力学方法和以拉格朗日方程为代表的分析力学方法)、图论(R-W)方法、凯恩方法、变分方法、旋量方法[33-35]。

多柔体系统运动的描述方式，按选取参考系的不同，可分为绝对描述和相对描述两种类型。绝对描述是在指定某一个惯性参考系后，系统中每一个物体在每一时刻的位形都在此惯性参考系中确定。而相对描述是对每一个物体都按某种方式选定一个动参考系，物体的位形是相对于自己的动参考系确定的。推导多柔体系统动力学方程的基本原理和方法与一般的力学问题一样，可以分为三类。第一类为牛顿-欧拉向量力学法，简称N-E方法。第二类为拉格朗日方程为代表的分析力学方法。对于多柔体系统，为了建立动力学方程及编制通用程序的方便，一般采用带拉格朗日乘子的拉格朗日方程。还有其他力学原理，如哈米尔顿原理、虚位移原理和虚速度原理等。尽管拉格朗日方法推导公式繁琐，但在多柔体系统动力学中有着重要的作用。基于达朗伯原理，引入偏速度、偏角速度，导出动力学方程的方法可以很方便地同多刚体系统动力学和有限元技术相衔接。第三类方法是基于高斯原理等具有极小值性质的极值原理。这个方法开辟了一个不必建立运动微分方程的新途径，可直接应用优化计算方法进行动力学分析。其他方法，可以看作是在这三大类方法基础上的变形。

对多体系统的建模最初采用传统的经典力学方法，即以牛顿-欧拉方程为代表的矢量力学方法。但随着组成机械系统的刚体数目的增多，刚体之间的联系状况和约束方式就会变得极其复杂，当对于作为隔离体的单个刚体列写牛顿-欧拉方程时，铰约束力的出现会使未知变量的数日显著增加。因此，该方法也必须加以发展以便于计算机能自动识别刚体的联系状况，并根据不同的约束形式自动形成约束方程。德国学者Schiechlen教授在这方面作了大量工作。其特点是在列写出系统的牛顿-欧拉方程后，将不独立的笛卡尔广义坐标变换为独立变量，对完整约束系统用达朗伯原理消除约束反力，最后得到与系统自由度数目相同的动力学方程，Schiehlen教授等人编制了符号推导的计算机程序，并以Newton 与Euler 的简名命名为NEWEUL[36]。

以拉格朗日方程为代表的分析力学方法也已广泛应用于多刚体系统动力学中。采用该方法可以避免出现不作功的铰的理想约束反力，使未知变量的数目减少到最低程度。但随着刚体数和自由度的增多，动能和势能函数的项数会急剧扩张，求导数的计算工作量庞大，推导过程繁琐枯燥且容易出错，尤其是若采用传统的、独立的拉格朗日广义坐标，在建立系统的动力学方程时会变得非常困难，而采用不独立的笛卡尔广义坐标比较方便，对于具有多余坐标的、完整或非完整约束系统，用带乘子的拉格朗日方程处理是十分规格化的方法。Orlandea 与Chace 等人应用Gear 刚性积分[37](Stiffness Integration)算法并采用稀疏矩阵技术提高计算效率，编制ADAMS程序[38]；Haug等人研究了广义坐标分类、奇异值分解等算法，编制了DADS程序[39]。

1966年，Roberson和Wittenburg创造性地将图论引入多刚体系统动力学，使这个学科分支跨入新阶段。他们利用图论的一些基本概念和数学工具成功地描述了机械系统内各刚体之间的结构特征。借助图论工具可使各种不同结构的系统能用统一的数学模型来描述，选用铰链相对运动变量作为系统的广义坐标可导出多刚体系统的一般形式的动力学方程。R-W 方法以十分优美的风格处理了树结构多刚体系统，对于非树系统，则必须利用铰切割或刚体分割方法转变成树系统处理。R-W 方法以相临刚体之间的相对位移为广义坐标，对复杂的树结构动力学关系给出了统一的数学模式，并据此推导了系统微分方程，编制了应用于机械、卫星、车辆和机器人等的程序MESA VERDE。(https://www.xing528.com)

在经典力学中，变分原理只是对力学规律的概括，而在计算技术飞速发展的今天，变分方法已成为可以不必建立动力学方程而借助于数值计算直接寻求运动规律的有效方法。变分力学的原理并不是直接描述机械系统运动的客观规律，而是把真实发生的运动和可能发生的运动加以比较，在相同条件下，从所发生的很多的可能运动中指出真实运动所应满足的条件。因此，该方法无需建立机械系统的动力学方程，以加速度作为变量，根据泛函的极值条件，直接利用系统在每个时刻的坐标和速度值解出真实加速度，从而确定系统的运动规律。这种方法的优点是可以避免求解微分方程组，并可以与最优控制理论结合起来。变分方法主要用于带控制系统的工业机器人动力学。

凯恩方法是在1965年前后发展起来的一种用于分析复杂机械系统的新方法。该方法最先用于分析复杂航天器，后来发展成为使用范围更广泛的普遍方法。该方法的特点是以伪速度作为独立变量来描述系统的运动，既适用于完整约束，又适用于非完整约束；此外，在用该方法建立系统的动力学方程时既不会出现理想约束反力，也不必计算动能等动力学函数及其导数，而且推导计算十分规格化，所得结果是一阶微分方程组[12]，因而兼有矢量力学和分析力学的特点。但它只是一种普遍的方法，必须对每个具体的多刚体系统作具体处理，而不像R-W 方法那样可得到一个普遍的公式。Huston等人应用凯恩方法提出了“低序体阵列”的概念，并在此基础上发展了一套独具特色的多体系统动力学的建模方法——“有限段建模法”，具有几何与计算统一的特点[13]。

以上几种主要的研究方法，虽然风格迥异，但共同的目标是要实现一种高度程式化、适合编制计算程序的动力学方程建模方法。

多柔体系统动力学研究由可变性物体以及刚体所组成的系统在经历大范围空间运动时的动力学行为。多刚体系统动力学是以系统中各部件均抽象为刚体，但可以计及各部件连接点处的弹性、阻尼等的影响，而多柔体系统动力学则在此基础上还进一步考虑部件的变形。多刚体系统动力学侧重的是“多体”方面，研究各个物体刚性运动之间的相互作用及其对系统动力学行为的影响；多柔体系统动力学则侧重“柔性”方面，研究柔性体变形与整体刚性运动的相互作用或耦合，以及这种耦合所导致的独特的动力学效应。变形运动与刚性运动的同时出现及其耦合正是多柔体系统动力学的核心特征。