建筑工程投标决策研究：模糊数学基本概念的应用

4.1.1　模糊集合与隶属度

任何目标的实现过程都存在众多方案，方案的实施过程中也存在很多变量因素，目标与方案之间、方案与因素之间存在着不同的关系，工程投标的过程中也是如此。这些关系中既有明确的，也有模糊的，模糊性是对事物之间区别变化的过渡性的一种描述。例如：高和低、胖和瘦之间都很难精确界定。1965年美国的L.A.扎德第一次将“模糊集合”概念引入文献，首次成功地用数学方式将“模糊”的概念描述出来[123]。本文在应用模糊数学理论分析建设工程项目投标报价活动时，主要概念如下。

（1）模糊集合与隶属度

在模糊数学理论中规定[123]：某目标的信息域为A时，A到[0，1]闭区间的一个随机映射μB均可规定A的一个子模糊集合B。μB为集合B的隶属函数，μB（x）称为变量x对应集合B的隶属度。例如，以人的年龄为信息域，取A=[1，100]，单位岁，取B表示老年人的子模糊集，假设规定对于年龄为x的人属于老年人行列集合的隶属度为：

取x=70，按照式（4.1）可计算得到，表示对于年龄为70岁时属于老年人行列集合的隶属度为，这里要明确，隶属度不同于概率，隶属度只代表了元素相对于它的集合的隶属关系。

（2）隶属度的内积与外积

对于信息域A中的每一个元素x，在区间[0，1]上都对应着实数μB（x），则

B=是A的一个子模糊集。若C为另一子模糊集，即B，C是A上的两个子模糊集，定义B与C的内积为先从两个元素的隶属度中以较小值作为第一次运算结果，再就所有元素的不同内积值中以较大值作为最终的运算结果；定义B与C的外积为先从两个元素的隶属度中以较大值为第一次运算结果，再就所有元素的不同外积值中以较小值为最终运算结果[124]。上述定义的数学式为：

若

B与C的内积为：

B与C的外积为：

一般定义内积表示目标的最小合成关系，外积表示目标的最大合成关系。

（3）模糊集合的笛卡尔积

模糊数学中集合B与集合C的笛卡尔积表示为B×C={（b，|c）b∈B，c∈C}例如B={1，2，3}，C={a，b}，这两个集合的模糊笛卡尔积计算公式为：

4.1.2　模糊集的模糊关系(www.xing528.com)

如果x，y表示两个子模糊集，x×y={（x，y）|x∈X，y∈Y}可以表示两个子集的模糊关系P，则P的一个子模糊集为：μP（x，y）：x×y→[0，1]。

例如两个模糊集合B和C，B={1，2，3}，C={1，2，3，4}，若假设存在以下模糊关系P：x远小于y，即x≪y。可以得到集合B与C的模糊关系表如表4.1所示：

表4.1　集合B与C模糊关系表

该关系可表示为式（4.4）：

根据模糊关系P=（pij），pij∈[0，1]，i，j=1，2，…，n

定义：若pij∈（0.5，1）说明i元素优先于j元素；若pij∈（0，0.5）说明j元素优先于i元素；若pij=0.5说明i元素和j元素优先度相同。所以任意一个模糊关系都可以组成一个集合表示。

如果设隶属度函数表示为μD（x，y）=μB⊗C（x，y）=sup{min[μB（x，y），μC（x，y）]}，即求解集合内积。

将X与Y的模糊关系表示为B，将Y与Z的模糊关系表示为C，将B与C的合成式表示为D=B⊗C，集合B与C的合成关系即可通过求解内积表示[125]。

例如，，则集合B与C的合成关系表示为式（4.5）：

4.1.3　模糊关系示例

设V={V1，V2，V3，…，Vm}和{W1，W2，W3，…，Wn}表示两个有限的信息域，其中V表示评判的因素所构成的集合，W表示所有评语所构成的集合。根据前述概念，B为V的子模糊集，M为W的子模糊集，用pij表示从第i个因素的角度考虑对第j个评判对手评价的可能性。P=（pij）称为综合判断矩阵[126]，即选定的模糊关系。将B与模糊关系P合成来表示M，即表示从B的角度给出M的判断结论。

例如，设V={某种文具用品的外观（V1），耐用程度（V2），售价（V3）}，W={欣赏（W1），认可（W2），勉强接受（W3），不能接受（W4）}，经过判断得到判断矩阵，这里pij就表示了从Vi的角度对第Wj种评价的结果，第一行表示从外观的角度有20%的顾客表示欣赏，70%的顾客表示认可此外观，10%的顾客表示勉强接受，而没有顾客完全不能接受该外观。

如果假设将该项文具用品在外观、耐用程度和售价三个方面决定是否投入市场的权重分别为0.5、0.2和0.3，即V的一个子模糊集为B=（0.5，0.2，0.3），则集合B与P的合成关系可以表示为式（4.6）所示：

可以得出结论为：此种文具用品投入市场后的欣赏比重为20%（即0.2），不能接受的比重为10%（即0.1），而总体被接受的比重为90%（即0.2+0.5+0.3）。