土力学：数学模型解析

如图15.11所示，取井筒的轴线为z轴来建立柱坐标系。井筒半径为R0，井筒的液压力为p0；在较远R∞（R∞>>R0）处，孔隙压力为p∞，岩石的水平应力为σr∞；岩石的有效孔隙度为χ、渗透率为k、弹性模量为E、泊松比为ν。

图15.11　孔隙压力及地应力作用的井壁

1.井筒强度分析

井筒问题为平面应变轴对称问题，井筒周围岩石各向同性，具有孔隙性和渗透性。该问题中只有径向应力σr、环向应力σθ和轴向应力σz三个主应力，而其余的应力都为零，且σ′1=max{σr，σθ}、σ′2=σz和σ′3=min{σr，σθ}。在井壁附近岩石中σ′3=σr≤σz≤σθ=σ′1。

如果在钻采初期井筒岩石的有效应力黏聚力和内摩擦角分别用C′0和φ′0表示，随着钻采的完成，井筒岩石会受到软化作用，弹性模量、黏聚力和内摩擦角都有所降低，此时黏聚力和内摩擦角分别用C′0和φ′0表示。井筒岩石屈服性满足式（15.30），即对于钻采初期有：

分别为钻采初期的统一黏聚力和统一内摩擦角。当钻采完成后有：

分别为钻采完成后的统一黏聚力和统一内摩擦角。

2.孔隙压力沿半径的分布

根据达西定律，孔隙压力沿半径的分布规律为：(www.xing528.com)

式中，η为液体的黏度；r为流体在井段内流过的半径；p为半径r处的孔隙压力，影响着岩石骨架应力；q为单位长度井段内流过半径r的柱面的流量；k为渗透系数。

边界条件为时，得到孔隙压力沿半径的分布为：

3.考虑岩石内渗流作用时的平衡微分方程

考虑岩石内渗流作用时的平衡微分方程为：

4.应力边界条件

其中，σn为井壁骨架径向应力，σz∞为外缘骨架径向应力，p∞b为上覆岩层压力。