直线与平面平行的作图与检验

直线与平面相平行的几何条件是：直线平行于平面上的某一直线。利用这个几何条件可以进行直线与平面平行的检验和作图。

【例2-12】　如图2-48（a）所示,已知直线AB、△CDE和点P的两面投影。

（1）检验直线AB是否与△CDE互相平行?

（2）过点P作一水平线平行于△CDE。

解　（1）检验直线AB是否与△CDE平行,只需要检验能否在△CDE平面上作出一条平行于AB的直线即可。检验过程如图2-48（b）所示。

1）过d′作d′f′∥a′b′,与c′e′交得f′。过f′作OX轴的垂线,与ce交得f,连接d与f。

2）检验df是否与ab平行：由于图中的检验结果是不平行的,说明在△CDE平面上不可能作出平行于AB的直线,故AB不平行于△CDE。

（2）水平线的平行线仍然是一条水平线,所以过点P作一条水平线与△CDE相平行,只需在△CDE平面内作出一条任意水平线,过点P作出该水平线的平行线即可。作图过程如图2-48（b）所示。

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图2-48　直线和平面平行的检验和作图

1）过c′作c′g′∥OX轴,与d′e′交得g′。过g′作OX轴的垂线,与de交得g,连接cg。

2）过p′作l′∥c′g′,过p作l∥cg,l、l′即为所求水平线的两面投影。

图2-49　特殊位置的平面与直线平行

当平面为特殊位置时,则直线与平面的平行关系可直接在平面有积聚性的投影中反映出来。如图2-49所示,设空间有一条直线AB平行于铅垂面CDEF,由于过AB的铅垂投射面与平面CDEF平行,故它们与H面交成的H面投影ab和cf相平行。若直线也与H面垂直,如图2-49所示中的直线MN,则直线肯定与平面CDEF平行,这时直线和平面都具有积聚性。

由此可推导出,当平面垂直于投影面时,直线与平面相平行的投影特性为：在平面有积聚性的投影面上,直线的投影与平面的积聚投影平行,或者直线的投影也有积聚性。