纯弯曲压弯只在理想情况下出现，即杆是准确平直的、横截面封闭以及力正好作用在中性轴上。在小变形前提条件下，这样一根杆的比例关系如图18-3所示。
图18-3 不变形杆与变形杆上力的比例关系（px=自重）
假设外力方向不变，则可将力分解为
N=F·cosϕ （18.1）
Q=-F·sinϕ （18.2）
其中，负号来自于示意图中坐标系的定向。
由于进一步的小变形与小角度变化相关，则近似有：
N≈F （18.3）
Q=-F·sinϕ≈-F·ϕ （18.4）
另外，围绕标记出的旋转中心的弯曲力矩为
其中，px的第二项的第二阶很小，因此可以忽略不计，所以有：
M′=-Q=F·ϕ=F·w′=0 （18.6）
进一步微分有：
M″=F·w″≡-E·J·w″″=0 （18.7）
转换后可求得弯曲压弯的微分方程：
对于此微分方程采用以下方程：
w（x）=C1+C2·x+C3·cosμ·x+C4·sinμ·x （18.9）
与
可得出一个求解方程式。对方程式（18.8）两次求积分同样可求弯曲压弯，即有：
w″+μ2·w=C5+C6·x （18.11）
这里新出现的常数C5、C6通常消失在特殊的边界条件下，所以也可由欧拉方程得出：
w″+μ2·w=0 （18.12）(www.xing528.com)
与此匹配的求解方程式为
w（x）=C1·cosμ·x+C2·sinμ·x （18.13）
对于每种压弯情形，都有在考虑到特殊的边界条件下求解产生的方程组。
图18-4所示为典型的压弯情形，即在轴向载荷作用下的一个杆，一个支座为铰节，一个支座为导向。这里用这个例子来讨论出现的特征值问题及其评估。
由现有的方程式（18.13）出发，有：
w（x）=C1·cosμ·x+C2·sinμ·x
边界条件为
w（0）=0与w（L）=0 （18.14）
由边界条件w（0）=0，即可得出C1=0，而由边界条件w（L）=0，可得出方程式：
C2·sinμ·L=0 （18.15）
很明显，须有常数C2≠0，否则，就得出普通的解w（x）=0。这样还须考虑特征值问题：
sinμ·L=0 （18.16）
显然以上方程只能通过下式得到满足：
μn·L=n·π，有全序列n=1、2、3、… （18.17）
由此有解：
w（x）=C2·sinμn·x （18.18）
图18-4 带有确定边界条件的欧拉压弯情形（弯曲长度LK=L）
这可作为特征值问题的表征，只有这样，才可以将不确定的残余振幅确定下来。代入n=1、2、…，则实际出现的特征值（弯曲形状）可如下计算：
或者，广义计算为
对于n=1的欧拉压弯情形的全面评估如表18-1所示。这里最小值F临界总是在最小面积惯性矩Jy或Jz下得到的。
表18-1 各种边界条件下闭口横截面杆的弯曲压弯临界载荷[HOL 71]
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