混凝土随机损伤本构理论的多尺度分析

在数学和力学上，对高阶向量空间进行简化的有效方法，就是将其投影到子空间中。对于四阶损伤张量，也存在类似的简化方法。

假定四阶张量空间的N阶子空间由一组基张量｛PI｜I=1，2，…，N｝构成，不同的基张量代表不同的损伤机制，N表示需要考虑的损伤机制的数量。那么一般四阶损伤张量可表示为

其中，dI为广义坐标。

对于损伤张量D，其每一个广义坐标的取值都定义在［0，1］区间内，取0值表示完全没有损伤产生而1表示损伤发育完全。如果每一个广义坐标都取1，损伤张量的取值将为四阶单位张量I，由此得

式（2-21）定义为损伤基张量的单位分解性质。

广义坐标dI均为标量，这就为损伤的表述带来极大的方便。将损伤张量分解式（2-20）代入弹性Helmholtz自由能势表达式（2-4），有

将损伤基张量单位分解式（2-21）两端同乘以有效应力，可得有效应力分解(www.xing528.com)

将有效应力分解（2-23）代入弹性能表达式（2-22），整理可得

下面考虑材料的塑性Helmholtz自由能势。将损伤张量分解式（2-20）以及有效应力张量分解式（2-23）代入式（2-13），可得塑性Helmholtz自由能势如下：

综合式（2-24）与式（2-25），可得总Helmholtz自由能势为

与各损伤标量dI对应的损伤能释放率也是标量，可表示为

由于损伤变量dI本身为标量，同时不考虑不同机制损伤之间的耦合，那么其标量函数qd就可取为其本身，于是相应的损伤准则为

值得指出，损伤演化函数FI不能在连续损伤框架内给出。传统连续介质损伤理论采用一维试验结果拟合之，本书后续章节中试图通过细观力学方法解得。