基于多尺度分析的混凝土随机损伤本构理论成果

前述讨论的细观随机断裂模型仅适用于一维随机损伤演化的求解，而实际中混凝土则大多处于多维受力状态。根据本书第2章的讨论，可基于能量等效应变将一维损伤演化推广到多维情形。事实上，将双标量弹塑性损伤模型与随机损伤演化规律相结合，不难建立多维弹塑性随机损伤本构模型。

首先考虑多维损伤本构关系表达式

其中，σ和ε为应力和应变；C0为初始弹性刚度张量；I为四阶单位张量；D和εp分别为四阶损伤张量和二阶塑性应变张量，其演化规律均与有效应力

有关，需要在损伤子空间和塑性子空间中分别求出。

对于双标量损伤模型，损伤张量可分解为

其中，d+和d-分别为受拉与受压损伤变量，P+和P-为损伤变量的投影张量，可由有效应力的特征向量求得。

在多维静力加载条件下，其损伤演化可由一维受力条件下的损伤演化函数结合能量等效应变求得，考虑一维随机损伤演化式（3-3），可得多维随机损伤演化

其中，受拉细观断裂随机场Δ+（x）与受压细观断裂随机场Δ-（x）对应的参数分别为（λ+，ζ+，ξ+）和（λ-，ζ-，ξ-）。(www.xing528.com)

对于动力加载条件下的率相关损伤演化，可由率无关损伤演化直接推广得到，有

上述损伤演化表达式中，能量等效应变是损伤能释放率的单调函数，有

而损伤能释放率Y+和Y-可由有效应力计算得出，有

考虑多维随机损伤演化，四阶损伤张量的均值和方差为

其中，损伤标量的均值μd+与μd-和方差可分别由式（3-10）和式（3-16）求出。

对应力表达式（3-26）求均值和方差，有

塑性应变εp的求解基于有效应力空间（粘）塑性力学，求解过程中不考虑损伤的演化。由于这里只考虑损伤演化的随机性，因此有效应力空间中的状态量和ε均为确定性变量，塑性应变的求解与确定性本构关系是一致的，可以直接采用第2章中讨论的塑性子空间理论，不再赘述。