多尺度分析：混凝土随机损伤模型研究

随机分析的主体内容是随机系统的求解，即在已知随机输入和随机系统参数的情况下，求解系统随机的输出。多尺度随机损伤演化问题是一个典型非线性随机系统求解的问题，即在已知随机的材料细观性能的情况下，求解随机的宏观损伤演化。这里拟采用李杰、陈建兵近年来发展的概率密度演化方法［174-176］求解多尺度随机损伤演化。概率密度演化方法的核心在于对概率守恒的认识［177］，而概率守恒的概念奠定了采用概率密度描述求解非线性系统的理论基础。

由概率守恒的随机事件描述可导出广义密度演化方程。不失一般性，考虑下面随机系统

其中A（·）是确定性算子，可以是线性算子或非线性算子；X=（X1，X2，…，Xn）是描述随机系统状态的向量；而Nr维随机向量Θ=（Θ1，Θ2，…，ΘNr）描述了系统的随机性，可以是随机激励，也可以是随机参励。此处我们采用随机向量来描述系统的随机性，对于随机场则可以采用K-L分解表示为随机向量。随机系统式（4-147）的形式解可以表示为

同样地，系统的状态变量变化率的形式解为

此时可知由于随机向量Θ=（Θ1，Θ2，…，ΘNr）的作用，状态向量X=（X1，X2，…，Xn）也是一个随机向量。

业已证明，向量（X，Θ）的联合概率密度函数fXΘ（x，θ；t）满足方程［178］(www.xing528.com)

对应的初始条件

如果每次只考虑一个状态变量的概率密度分布，那么式（4-150）降为一维偏微分方程，有

在给定初始条件下，求解上述方程并引入全概率积分公式，就可以求出所关心的状态变量的概率密度分布，有

式（4-150）与式（4-152）称为广义密度演化方程（GDEE），它从概率密度演化的角度给出了随机系统统一的描述。只要求解得到系统状态变量的速度演化h（θ；t），就可以根据广义密度演化方程求解系统的随机响应。