混凝土裂纹扩展问题的多尺度分析

对于动态裂纹扩展问题，目前数学上有解的，大多为裂纹匀速扩展问题。1951年，Yoffe［184］得到了动态断裂的第一个解，虽然数学上来看这个解仅考虑了极特殊的情况，但是后来的研究证明其中某些结论对一般的动态断裂问题均是适用的。Yoffe考虑在平面无限弹性介质中，有一个长度为2a的裂缝，沿着主轴方向以常速度V=const作匀速移动。在固体中建立两个坐标系，一个为固定坐标系（x1，y，t），另一个为随着裂缝一起移动的坐标系（x，y，t），两个坐标系之间的换算为

上述坐标变换采用了绝对时间t，物理上称之为伽利略变换。根据上述坐标转换，在固定坐标系中建立的弹性波动方程（5-3）可以转化为移动坐标系内的拉普拉斯方程组，有

在运动坐标系中，其对应的边界条件为

考虑稳态传播问题，这里不需要初始条件。

Yoffe利用傅立叶变换，解得上述方程的解为

待定函数A1与A2为

式中M2=V／c2，而函数

式中，J1（·）为第一类贝塞尔函数。(www.xing528.com)

Yoffe得到上述解答的时代，断裂力学的体系还没有完整地建立起来，某些断裂特征量的概念当时还没有建立起来。后来，Freund根据Yoffe的解答，推导得到了断裂能及其释放率的表达式［185-187］。其中，动态裂纹的应变能为

其动态断裂能释放率

其中（V）为裂纹拟静态扩展条件下的断裂能释放率，而A（V）为裂纹速度因子，其表达式为

式（5-27）虽然是针对特殊情况得到的结论，但是Freund认为它对于更一般的情况仍然成立。

考虑式（5-26）与式（5-27），其分母中均包含项，令其趋近于0可使得裂纹扩展的能量和释放率均趋近于无穷大，那么此时对应的速度就为裂纹的极限速度。另一方面，对应于式（5-26）的极限状态方程

同时为瑞雷波速cR的定义方程，由此可知，裂纹的极限速度Vc即为固体的瑞雷波速cR。

动态扩展裂纹的解告诉我们，无论加载速度如何升高，裂纹的扩展速度是有上限的，这里给出的上限预测值为瑞雷波速cR。这就从物理上解释了动力加载条件下裂缝扩展的滞后效应：如果裂纹扩展速率已经达到上限值，那么提高加载速度并不能对应地提高裂纹扩展速率。试想对试件加载到相同的控制位移，显然高速加载所需要的时间要少于低速加载，此时若低速加载情况下对应的裂纹扩展速率也已经达到了极限裂纹扩展速率，即低速加载情况与高速加载情况所对应的裂纹速率一样，那么高速加载对应的裂纹尖端就会滞后于低速加载的裂纹尖端。