圆轴扭转横截面应力分析

要分析圆轴扭转时横截面上的应力,首先需要搞清楚横截面上存在什么应力,以及应力在横截面上的分布规律,然后才能进行应力计算公式的推导。为此,需要从变形关系、物理关系和静力学关系三方面进行讨论。

(1)扭转试验现象与分析

取一容易变形的实心圆轴,在其表面画上若干条纵向线和圆周线,形成矩形网格,如图6.6(a)所示。然后在圆轴的两端施加一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的外力偶Me,使圆轴产生扭转变形。在弹性范围内,扭转变形后〔图6.6(b)〕,可以观察到以下现象:

①各纵向线都倾斜了一个微小的角度γ,矩形网格变成了平行四边形。

②各圆周线的形状、大小及间距保持不变,但它们都绕轴线转动了不同的角度。

图6.6

根据以上观察到的现象,可以作出如下的假设及推断:

①由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变,可以假设圆轴的横截面在扭转后仍保持为平面,各横截面像刚性平面一样绕轴线作相对转动。这一假设称为圆轴扭转时的平面假设。

②由于各圆周线的间距保持不变,故知横截面上没有正应力。

③由于矩形网格歪斜成了平行四边形,即左右横截面发生了相对转动,故可推断横截面上必有切应力τ;圆周线的形状、大小不变,故该切应力的方向必垂直于半径。

④由于各纵向线都倾斜了一个角度γ,故各矩形网格的直角都改变了γ角,直角的改变量称为切应变。切应变γ是切应力τ引起的。

(2)扭转圆轴横截面切应力计算公式推导

为了分析切应力在横截面上的分布规律,用相邻两横截面从圆轴上截出dx微段来研究,如图6.7所示。两横截面相对转过的微小角度等于截面上半径O2a转过的角度dφ。圆轴表面的圆周线和纵向线形成的方格产生了相对错动,横截面上距圆心为ρ的任一点e随着O2a移到了e′点。根据几何关系,此微段的切应变可表示为

图6.7

式中,表示转角的变化率,即单位长度的扭转角,对同一截面而言为常量。因此式(a)表明,横截面上任意一点的切应变γρ与该点到圆心的距离ρ成正比。即切应变沿半径呈线性变化。

根据物理关系,当切应力不超过某一极限时,切应力与切应变成正比,即剪切胡克定律

结合式(a),故横截面上任意一点的切应力为

由式(c)及平面假设分析结果说明,横截面上任意一点的切应力τρ与该点到截面圆心的距离ρ成正比,切应力的方向垂直于该点处的半径,这就是切应力的分布规律,如图6.8所示。当ρ=ρmax=r时,τρ=τmax,即横截面边缘各点的切应力最大。

图6.8

在横截面上距圆心ρ处取一微面积dA,作用在其上的切向微内力τρdA对圆心的微内力矩为ρτρdA,根据静力学关系,在整个截面上这些微内力矩之和等于该截面上的扭矩MT,即

将式(c)代入式(d),得

式中,积分是与圆截面的几何性质有关的量,称为圆截面对圆心的极惯性矩,用IP表示,即

极惯性矩的单位为m4,mm4等。将式(6.2)代入式(e),得(www.xing528.com)

将式(6.3)代入式(c),即得圆轴扭转时横截面上任意一点的切应力计算公式

当ρ=r时,即在横截面边缘处切应力最大。

令

则

WP称为扭转截面系数,它和极惯性矩一样都是只与截面的几何形状和尺寸有关的量。先根据定义用积分法求出截面的极惯性矩,再由式(6.6)得出截面的扭转截面系数。

直径为D的圆形截面和外径为D、内径为d的圆环形截面,它们对圆心的极惯性矩和扭转截面系数分别为:圆截面:

圆环形截面:

式中——内、外径的比值。

极惯性矩IP的单位为mm4或m4,扭转截面系数WP的单位为mm3或m3。

应该注意,扭转时应力的计算公式(6.4)只适用于圆轴。

【例6.2】　如图6.9所示,轴AB的转速n=360r/min,传递的功率P=15kW。轴的AC段为实心圆截面,CB段为空心圆截面。已知D=30mm,d=20mm。试计算AC段横截面边缘处的切应力以及CB段横截面内外边缘处的切应力。

图6.9

【解】　①计算扭矩,轴所受的外力偶矩为

由截面法,各横截面上的扭矩为

②计算极惯性矩,由式(6.8)及式(6.9),AC段和CB段横截面的极惯性矩分别为

③计算应力,由式(6.4),AC段轴在横截面边缘处的切应力为

CB段轴横截面内、外边缘处的切应力分别为