静定平面刚架内力计算和图绘制

(1)刚架内力的符号规定

在一般情况下,刚架中各杆的内力有弯矩、剪力和轴力。

由于刚架中有横向放置的杆件,也有竖向放置的杆件,为了使杆件内力表达得清晰,在内力符号的右下方以两个下标注明内力所属的截面,第一个下标表示该内力所属杆端的截面,第二个下标表示杆段的另一端截面。例如,杆段AB的A端的弯矩、剪力和轴力分别用MAB,FQAB和FNAB表示;而B端的弯矩、剪力和轴力分别用MBA,FQBA和FNBA表示。

在刚架的内力计算中,弯矩可自行规定正负。例如,可规定以使刚架内侧纤维受拉的为正,但需注明受拉的一侧;弯矩图绘在杆的受拉一侧。剪力和轴力的正负号规定同前,即剪力以使隔离体产生顺时针转动趋势时为正,反之为负;轴力以拉力为正,压力为负。剪力图和轴力图可绘在杆的任一侧,但需标明正负号。

(2)刚架内力的计算规律

利用截面法,可得到刚架内力计算的如下规律:

①刚架任一横截面上的弯矩,其数值等于该截面任一边刚架上所有外力对该截面形心之矩的代数和。力矩与该截面上规定的正号弯矩的转向相反时为正,相同时为负。

②刚架任一横截面上的剪力,其数值等于该截面任一边刚架上所有外力在该截面方向上投影的代数和。外力与该截面上正号剪力的方向相反时为正,相同时为负。

③刚架任一横截面上的轴力,其数值等于该截面任一边刚架上所有外力在该截面的轴线方向上投影的代数和。外力与该截面上正号轴力的方向相反时为正,相同时为负。

(3)刚架内力图的绘制

绘制静定平面刚架内力图的步骤如下:

①由整体或部分的平衡条件,求出支座反力和铰结点处的约束力。

②选取刚架上的外力不连续点(如集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载作用的起点和终点等)和杆件的连接点作为控制截面,按刚架内力计算规律,计算各控制截面上的内力值。

③按单跨静定梁的内力图的绘制方法,逐杆绘制内力图。即用区段叠加法绘制弯矩图,由微分关系法绘制剪力图和轴力图;最后将各杆的内力图连在一起,即得整个刚架的内力图。

下面举例加以说明。

【例9.1】　绘制如图9.3(a)所示的悬臂刚架的内力图。

图9.3

【解】　①求支座反力。由刚架整体的平衡方程,求出支座A处的反力为

FAx=-40kN,FAy=80kN,MA=320kN·m

对悬臂刚架也可不计算支座反力,直接计算内力。

②求控制截面上的内力。将刚架分为AB,BC,CD三段,取每段杆的两端为控制截面。从自由端开始,根据刚架内力的计算规律,可得各控制截面上的内力为

MDC=0

MCD=-40kN×4m-10kN/m×4m×2m=-240kN·m　(上侧受拉)

MCA=MCD=-240kN·m　(左侧受拉)

MAC=-320kN·m　(左侧受拉)

FQDC=40kN

FQCD=40kN+10kN/m×4m=80kN

FQCB=FQBC=0

FQAB=FQBA=40kN

FNDC=FNCD=0

FNAC=FNCA=-80kN

③绘制内力图。由区段叠加法绘制弯矩图。在CD段,用虚线连接相邻两控制点,以此虚线为基线,叠加上相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图。在AC段,用虚线连接相邻两控制点,以此虚线为基线,叠加上相应简支梁在跨中受集中荷载作用下的弯矩图。绘出刚架的弯矩图如图9.3(b)所示。

由控制截面上的剪力值,并利用内力变化规律绘制剪力图。CD段有均布荷载作用,剪力图是一条斜直线,用直线连接相邻两控制点即是该段的剪力图。AB和BC段无荷载作用,剪力图是与轴线平行的直线,在集中力作用的B点处剪力图出现突变,突变值等于40kN。绘出刚架的剪力图如图9.3(c)所示。

由控制截面上的轴力值,并利用内力变化规律绘制轴力图。因为各杆均无沿杆轴方向的荷载,所以各杆轴力为常数,轴力图是与轴线平行的直线。绘出刚架的轴力图如图9.3(d)所示。

【例9.2】　绘制如图9.4(a)所示的简支刚架的内力图。

【解】　①求支座反力。由刚架整体的平衡方程,可得支座反力为

FA=16kN,FBx=12kN,FBy=24kN

②求控制截面上的内力。将刚架分为AC,CE,CD和DB四段,取每段杆的两端为控制截面。这些截面上的内力为

MAC=0

MCA=-2kN/m×6m×3m=-36kN·m(左侧受拉)

MCD=MCA=-36kN·m(上侧受拉)

MDC=-12kN×6m+12kN·m=-60kN·m(上侧受拉)

MDB=-12kN×6m=-72kN·m(右侧受拉)

MBD=0

FQAC=0(www.xing528.com)

FQCA=-2kN/m×6m=-12kN

FQCE=FQEC=16kN

FQED=FQDE=-24kN

FQDB=FQBD=12kN

FNAC=FNCA=-16kN

FNCD=FNDC=-12kN

FNDB=FNBD=-24kN

图9.4

③绘制内力图。根据以上求得的各控制截面上的内力,由区段叠加法绘制弯矩图,利用内力变化规律绘制剪力图和轴力图。绘出刚架的内力图分别如图9.4(b)—(d)所示。

【例9.3】　绘制如图9.5(a)所示的三铰刚架的内力图。

【解】　(1)求支座反力

取刚架整体为隔离体,由平衡方程∑MA=0,∑MB=0得

FBy=6kN(↑),FAy=26kN(↑)

分别取刚架的左、右半部分为隔离体,并均由∑MC=0可得

FAx=10kN(→),FBx=6kN(→)

(2)绘弯矩图

各杆端弯矩计算如下:

MAD=0

MDA=FAx×4=-40kN·m(左侧受拉)

由刚结点D的力矩平衡可得

MDC=MDA=-40kN·m(上侧受拉)

MCD=0

MBF=0

MEF=FBx×4-16×2=-8kN·m(右侧受拉)

MCE=0

图9.5

由刚结点E的力矩平衡可得

MEC=-(MEF+16)=-24kN·m(上侧受拉)

绘出刚架的弯矩图如图9.5(b)所示。其中CD,BE段的弯矩图按区段叠加法绘制。

(3)绘剪力图

AD,BF两杆的杆端剪力值显然就等于A,B两支座的水平反力,即

FQAD=FQDA=-FAx=-10kN

FQBF=FQFB=-FBx=-6kN

FQFE=FQEF=-FBx+16=10kN

DC段上作用有顽荷载,剪力图为一斜直线,两端截面的剪力分别为

FQDC=FAy=26kN,FQCD=FQCE=FAy-8×4=-6kN

绘出刚架的剪力图如图9.5(c)所示。

(4)绘轴力图

AD,BE两杆的轴力值可直接由A,B两支座的竖向反力求得,即

FNAD=-26kN,FNBE=-6kN

水平杆DE的轴力为

FNDE=-FAx=-10kN

绘出刚架的轴力图如图9.5(d)所示。