三铰拱内力计算：三铰拱D截面和E截面结果

现以如图9.22(a)所示的三铰拱为例说明内力计算过程。该拱的两支座在同一水平线上,且只承受竖向荷载。

图9.22

(1)支座反力的计算

取拱整体为隔离体,由平衡方程∑MB=0,得

由∑MA=0,得

由∑Fy=0,得

再取左半个拱为隔离体,由平衡方程∑MC=0,得

与三铰拱同跨度同荷载的相应简支梁如图9.22(b)所示,其支座反力为

同时,可以计算出相应简支梁C截面上的弯矩为

比较以上各式,可得三铰拱的支座反力与相应简支梁的支座反力之间的关系为

利用上式,可以借助相应简支梁的支座反力和内力的计算结果来求三铰拱的支座反力。

由式(9.2)可以看出,只受竖向荷载作用的三铰拱,两固定铰支座的竖向反力与相应简支梁的相同,水平反力Fx等于相应简支梁截面C处的弯矩与拱高f的比值。当荷载与跨度不变时,为定值,水平反力与拱高f成反比。若f→0,则Fx→∞,此时三个铰共线,成为瞬变体系。

(2)任意截面K上内力的计算

由于拱轴线为曲线,使得三铰拱的内力计算较为复杂,但也可以借助其相应简支梁的内力计算结果,来求拱的任一截面K上的内力。具体分析如下:

取三铰拱的K截面以左部分为隔离体如图9.22(c)所示。设K截面形心的坐标分别为xK、yK,K截面的法线与x轴的夹角为φK。K截面上的内力有弯矩MK、剪力FQK和轴力FNK。规定:弯矩以使拱内侧纤维受拉为正,反之为负;剪力以使隔离体产生顺时针转动趋势时为正,反之为负;轴力以压力为正,拉力为负(在隔离体图上将内力均按正向画出)。利用平衡方程,可以求出拱的任意截面K上的内力为

在相应简支梁上取图9.22(d)所示隔离体,利用平衡方程,可以求出相应简支梁K截面上的内力为

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利用上式与式(9.2),式(g)可写为

式(9.3)即为三铰拱任意截面K上的内力计算公式。计算时要注意内力的正负号规定。

由式(9.3)可以看出,由于水平支座反力Fx的存在,三铰拱任意截面K上的弯矩和剪力均小于其相应简支梁的弯矩和剪力,并且存在着使截面受压的轴力。通常轴力较大,为主要内力。

(3)内力图的绘制

一般情况下,三铰拱的内力图均为曲线图形。为了简便起见,在绘制三铰拱的内力图时,通常沿跨长或沿拱轴线选取若干个截面,求出这些截面上的内力值。然后以拱轴线的水平投影为基线,在基线上把所求截面上的内力值按比例标出,用曲线相连,绘出内力图。

【例9.7】　求如图9.23(a)所示的三铰拱截面D和E上的内力。已知拱轴线方程为。

图9.23

【解】　①计算三铰拱的支座反力。三铰拱的相应简支梁如图9.23(b)所示,其支座反力为

相应简支梁截面C处的弯矩为

由式(9.2),三铰拱的支座反力为

②计算D截面上的内力。计算所需有关数据为

由式(9.3),算得三铰拱D截面上的内力为

必须指出,因为截面D处受集中荷载作用,所以该处左、右两侧截面上的剪力和轴力不同,要分别加以计算。

③计算E截面上的内力。计算所需有关数据为

由式(9.3),算得三铰拱E截面上的内力为