建筑力学：力法典型方程

由前述力法的基本原理可知:根据基本体系在解除多余约束处的位移与原超静定结构相应处位移一致的条件建立的力法方程,才能求出多余未知力。而求出多余未知力是将超静定问题转化为静定问题的前提。因此,在选定基本未知量并得到相应的基本体系后,建立力法方程就是求解多余未知力的关键。下面以一个三次超静定结构为例,按力法的解题思路来说明多次超静定结构的力法方程的建立过程,然后再将其推广到n次超静定结构。

如图14.9(a)所示为一个三次超静定刚架,去掉固定端支座C处的多余约束,用多余未知力X1,X2,X3代替,得到如图14.9(b)所示的基本体系(悬臂刚架)。

由于原结构C处为固定端支座,其线位移和角位移都为零。所以,基本结构在荷载及多余未知力X1,X2,X3共同作用下,C点沿X1,X2,X3方向的位移都等于零,即基本体系应满足的位移条件为

Δ1=0,Δ2=0,Δ2=0

式中,Δ1是基本体系沿X1方向的总位移,即C点的水平位移;Δ2是基本体系沿X2方向的总位移,即C点的竖向位移;Δ3是基本体系沿X3方向的总位移,即C截面的转角。

图14.9

根据叠加原理,基本结构在荷载和所有多余未知力共同作用下产生的总位移应等于基本结构在荷载和每一个多余未知力分别单独作用下所产生的位移之和。因此,如果用Δ11,Δ12,Δ13,Δ1P分别表示基本结构在多余未知力X1,X2,X3和荷载单独作用时C点沿X1方向的位移;用Δ21,Δ22,Δ23,Δ2P分别表示基本结构在多余未知力X1,X2,X3和荷载单独作用时C点沿X2方向的位移;用Δ31,Δ32,Δ33,Δ3P分别表示基本结构在多余未知力X1,X2,X3和荷载单独作用时C点沿X3方向的位移,如图14.9(c)~(e)所示。那么上述的位移条件可写为

设基本结构在单位多余未知力=1单独作用下引起的沿X1,X2,X3方向的位移分别为δ11,δ21,δ31,则当X1单独作用时的位移为Δ11=δ11X1,Δ21=δ21X1,Δ31=δ31X1,如图14.9(d)所示。

设基本结构在单位多余未知力=1单独作用下引起的沿X1,X2,X3方向的位移分别为δ12,δ22,δ32,则当X2单独作用时的位移为Δ12=δ12X2,Δ22=δ22X2,Δ32=δ32X2,如图14.9(e)所示。

设基本结构在单位多余未知力=1单独作用下引起的沿X1,X2,X3方向的位移分别为δ13,δ23,δ33,则当X3单独作用时的位移为Δ13=δ13X3,Δ23=δ23X3,Δ33=δ33X3,如图14.9(f)所示。

上述位移条件又可表示为

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上式就是三次超静定结构的力法方程。

对于高次超静定结构,其力法方程也可类似推出。若为n次超静定结构,则有n个多余未知力,可根据n个已知位移条件建立n个方程。当原结构在去掉多余约束处的已知位移为零时,其力法方程为

方程组(14.3)的物理意义为:基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下,在去掉多余约束处沿各多余未知力方向的位移等于原超静定结构的相应位移。

在方程组(14.3)中,位于主对角线(从左上方的δ11到右下方的δnn)上的系数δ&&称为主系数或主位移,它表示基本结构在单位多余未知力=1单独作用时所引起的基本结构沿X&方向上的位移,其值恒为正,且不会等于零;主对角线两侧的系数δ&j(&≠j)称为副系数或副位移,它表示基本结构在单位多余未知力=1单独作用时所引起的基本结构沿X&方向上的位移,其值可为正、负或零。根据位移互等定理可知,在关于主对角线对称位置上的两个副系数δ&j和δj&相等,即

δ&j=δj&

每个方程左边最后一项Δ&P称为自由项,它表示基本结构在荷载单独作用时所引起的基本结构沿X&方向上的位移,其值也可为正、负或零。

上述方程组在组成上有一定的规律,不论超静定结构的类型、次数及所选的基本结构如何,所得的方程都具有式(14.3)的形式,故称为力法典型方程。

典型方程中的所有系数和自由项都是基本结构在已知力作用下的位移,完全可以用计算静定结构在荷载作用下的位移的方法求得。对于平面结构,这些位移的计算式为

需要说明,对于各种具体结构,常只需计算其中的一项或两项。系数和自由项求得后,将它们代入典型方程即可解出各多余未知力,然后由平衡条件即可求出其余反力和内力。

综上所述,力法典型方程中的每个系数都是基本结构在某单位多余未知力作用下的位移。显然,结构的刚度越小,这些位移的数值越大,因此这些系数又称为柔度系数;力法典型方程表示的是位移条件,故又称为柔度方程,力法又称为柔度法。