螺旋管流体流动方程的近似解析解

针对各种流动现象，建立合适的数学模型，用数学方程描述已知的流体动力学基本定律，这些方程通常用微分方程来表示，且多为非线性和非稳定性方程，只有很少量特定条件下的问题，可以根据求解问题的特性对方程和边界条件作相应简化得到解析解。

摄动法是求解流体力学非线性微分方程的基本方法之一。摄动法有参数摄动法和坐标摄动法两种，其中前者较为常用[35]。在使用参数摄动法时，需要先将非线性方程无量纲化，使得方程形式简单而便于求解，且使所求的解不受度量单位的限制，从而具有一定的代表性。方程无量纲化以后，选择适当的无量纲量作为摄动参数，再选用渐进序列进行参数展开，进而求得问题的一致有效渐进解。

这里首先对前述流体控制方程进行无量纲处理，定义以下无量纲量：

式中，rc——圆截面螺旋管半径；

υ——运动黏度；

ρ——流体密度；

p——轴向压力；

wm——螺旋管轴向平均速度。

下文中，为公式表达简洁起见，略去无量纲量上标“*”。(www.xing528.com)

将上述无量纲量式（4-17）代入式（4-15）、式（4-16），可以得到相应的无量纲控制方程，构成螺旋管道内充分发展定常层流流动的数学物理模型。

定义流函数ψ（r，θ）：

假定无量纲曲率和无量纲挠率为小量，κ=ε≪1，τ=λε≪1，以其为摄动参数，摄动解可以统一为如下形式[36]：

将式（4-19）代入无量纲控制方程，整理ε各阶项的系数，得到各阶摄动方程。再求解各阶摄动方程，从而得到方程的摄动解。

零阶摄动解为圆截面直管内的压差流（Poiseuille流），其中

ψ0=0，故圆截面直管内不存在二次流动；w0为r的函数，所以w0在圆截面上的等值线为一系列同心圆；p0为s的函数。

同样方法，可以求得牛顿流体在螺旋管中层流流动的完全二阶摄动解[34]为：

同理也可求得u、v的二阶摄动解。