无人驾驶车辆模型预测控制的轨迹跟踪技术

轨迹跟踪控制的目的是让无人驾驶车辆跟踪由规划算法得到的轨迹。其主要任务是根据车辆的运动学和动力学约束输出相应的控制参数，如前轮偏角、车轮制动力等。目前应用较多的控制算法有比例积分微分(PID)控制算法、滑模控制算法、神经网络控制算法等。这些算法对参数和环境的依赖程度较高，当环境发生较大变化时不能很好地适应新状态下的轨迹跟踪；同时，地面无人车辆在运动过程中受到运动学约束以及执行机构的约束，在高速运动情况下还需要考虑相应的动力学约束。上述算法对这些约束难以处理。基于模型预测控制的轨迹跟踪算法由于对未来轨迹的预测和处理多目标约束条件的能力较强而逐渐成为研究的热点。

在应用车辆模型进行预测时，是否考虑轮胎滑移是一个非常重要的约束条件。这也是实际车辆测试的一个难点问题。轮胎滑移率也是驱动防滑系统(ASR)及防抱死制动系统(ABS)的关键参数。考虑到轮胎柔度和摩擦力饱和值，轮胎纵横向耦合摩擦力(驱动力)模型一般为滑移率的非线性函数。目前应用较广的是Pacejka提出的魔术公式轮胎模型。

1.非完整动力学约束轨迹跟踪

非完整(Nonholonomic)动力学约束就是假设车辆在运动过程中没有滑移。很多在平坦路面运动的无人车辆或移动机器人都用这种假设设计轨迹跟踪控制器，特别是纯跟踪算法(Pure Pursuit)，已经被成功地应用在很多机器人轨迹跟踪控制中，包括获得2005年DAPAR沙漠挑战赛冠军的斯坦福大学的Stanley赛车[45]。

2.摩擦力与滑移率非线性约束轨迹跟踪

带有纵横向耦合滑移的非线性轮胎模型在轨迹跟踪控制器中一般利用数值优化计算方法进行解算。文献[46]应用了凸二次锥规划优化数值计算方法，而且在控制中使用了非线性耦合模型的简化模型。文献[47]用预测控制方法为自主车辆设计适应轮胎摩擦极限的轨迹跟踪控制器，应用了耦合非线性轮胎模型。该模型较复杂。Velenis和Frazzoli通过推导出无人驾驶车辆在转弯时的速度、轮胎侧偏角、横摆角速度等参数，在仿真实验中应用滑模控制方法能很好地控制车辆在漂移状态下行驶[48]。其主要不足是只能稳定地控制均匀漂移的运动并且还无法跟踪时变曲率轨迹。

3.车辆动力学模型简化对模型预测控制的影响

预测模型的选择也是基于模型预测控制的轨迹跟踪算法需要考虑的关键问题之一。使用复杂的模型能够更好地对车辆输出进行预测，但同时也增大了控制器的计算量，实时性难以保证；而使用简单的模型有可能导致跟踪失败。针对这个问题，文献[49]分别基于2自由度自行车模型和14自由度动力学模型设计了轨迹跟踪控制器，然后对轨迹跟踪效果进行了对比，结果如图1.7所示。其中，图1.7(a)所示为没有考虑安全约束，而图1.7(b)中两者都加入了安全约束。可以看出，基于14自由度模型的控制器能够具备更好的避障效果；但加入了14自由度模型中的安全约束之后，2自由度模型也能具备相近的效果并且计算时间优势明显。因此，复杂的预测模型并不是最好的选择，对车辆动力学模型进行合理简化并且选择满足行驶工况的约束条件才是研究的重点。也就是说，在模型预测控制中，模型约束条件能够表达控制对象的真实物理限制即可。

图1.7　2自由度模型与14自由度模型跟踪结果对比

(a)未加入安全约束；(b)加入了安全约束

上面关于模型复杂度对控制效果的分析为控制过程中的模型简化提供了依据。文献[50]通过对轮式移动机器人的运动学模型在目标轨迹点附近进行线性化，得到了离散的系统状态空间模型；采用线性模型预测控制算法进行轨迹跟踪，并通过仿真和实车实验分别验证了算法的可靠性。

在动力学建模方面，麻省理工学院(Massachusetts Institute of Technology，MIT)、斯坦福大学(Stanford University)以及韩国釜山国立大学等做了深入的研究。MIT的Robotic Mobility Group课 题 组通过微分平坦理论、点质量模型对车辆动力学模型进行了合理简化，应用轮胎摩擦圆约束(图1.8)提高了系统的实时性，实现了在高速情况下的地面无人车辆危险规避[51，52]。轮胎摩擦圆代表轮胎与地面摩擦所能产生的最大牵引力。由于牵引力可以为任意方向，以轮胎与地面接触中心点为圆心、最大牵引力为半径得到的圆，就是轮胎摩擦圆。摩擦圆约束是指轮胎与地面摩擦时纵向与横向产生的耦合力必须位于摩擦圆内。车辆转弯、加速、减速时，如果耦合力超出了摩擦圆，车辆就会产生滑移。轮胎摩擦圆会因为路面的状况、轮胎的接地负荷或者轮胎的性能而改变。例如在冰雪或湿滑的路面，轮胎摩擦圆比在常规路面行驶时小。

图1.8　轮胎摩擦圆约束

图1.9　前方有障碍(车辆或其他障碍)的换道行驶情形

在图1.9所示的高速车辆换道避障运动轨迹规划中，D2是车辆与前方障碍的纵向距离，D1是本车道与旁车道的距离，那么危险规避运动规划问题可表述为：首先计算在满足各轮胎摩擦圆约束和障碍约束的条件下，车辆能够安全换到距离为D1的车道的最小纵向距离D2min。当调整到D2＞D2min时，计算车辆换道运动轨迹。文献[53]利用二次锥规划方法来确定作用在车辆上的最优力和力矩。车辆用刚体表示，并用由两步优化方法得到的转向和制动命令来控制高阶车辆模型跟踪期望轨迹。

Stanford的Craig等在2自由度自行车模型基础上提出了仿射力矩输入模型(Affine Force Input)，并将横摆角速度和轮胎侧偏角约束以包线的形式纳入控制器(图1.10)，使车辆能够在极限情况下完成轨迹跟踪，实现车辆性能的最大化利用[54]。文献[55]则在动力学建模时考虑了车轮转角函数随速度的变化，提高了车辆在高速行驶情况下的控制精度。

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图1.10　侧偏角和横摆角速度包线约束

4.微分平坦方法在非线性运动控制模型简化中的应用

微分平坦在无人(空中或地面)车辆或者机器人轨迹跟踪控制中得到了一定的关注。微分平坦是一个优化控制问题。从理论上分析，它与全状态反馈线性优化是等价的。微分平坦系统的定义：如果一个系统能找到平坦输出，使系统的状态和输入都可以用平坦输出及其有限阶导数表示，则该系统被称为平坦系统[30，56]。平坦系统的一个好处就是能将非线性系统的微分约束映射为平滑几何约束，有效减少优化空间的维数。对于车辆非线性系统，利用微分平坦输出，能将同时满足运动学约束(速度)和动力学约束(加速度)的Kinodynamic规划与控制问题简化为计算光滑轨迹的几何规划和控制问题。

另外，微分平坦简化模型轨迹跟踪的控制稳定性非常重要。这是滚动优化评价的基础。文献[51]完成了固定加速度横摆动力学模型在跟踪固定曲率轨迹方面的控制稳定性分析，但没有涉及时变加速度模型及时变曲率轨迹。

5.侧倾约束对轨迹跟踪控制的影响

目前已经有商用化的车辆(特别是挂车及高档越野轿车)防侧倾控制系统。其原理主要是综合前轮偏角与差动制动方法输入控制量、主动悬架控制技术调整重心位置、发动机扭矩控制与ABS系统结合使用等方法达到防侧倾的目的。对于在越野环境中运行的车辆或者高速车辆紧急避险转向时侧倾与滑移约束相结合的轨迹跟踪控制稳定性分析是非常重要的。文献[57]采用能量成形控制(Energy Shaping Control)分析了近似成倒立摆的车辆模型侧倾控制稳定性，借鉴了倒立摆的控制稳定性分析(图1.11)。虽然忽略了横摆滑移非线性，但能量成形控制稳定性方法体现了较好的易用性。

图1.11　轨迹跟踪时车辆侧倾约束倒立摆模型

6.模型预测控制算法实时性

与移动机器人不同，无人车辆处于高速运动状态，车辆不可能停下来或者减速等待规划或控制器的输出结果。基于模型预测控制的轨迹跟踪控制器实时性问题一方面受到所采用动力学模型的影响，另一方面受到自身计算方式的影响。目前模型预测控制的基本思想都是在线求解序列二次规划问题，而当系统较为复杂或者约束量比较多时，计算速度不能满足实时控制的需求。提高计算速度的一类方法是将二次规划问题完全用控制量表示，并假定在某一段控制时域内控制量不变。这样可以大大减少优化过程中的变量，从而提高计算速度[58]。另外一种重要的方法被称为“暖起动”[59]，即在每一步开始计算的时候根据上一步的预测结果进行初始化。如果运用得当，这种方法将会使总计算次数减少为原来的1/5。

随着模型预测控制算法在各领域的应用愈加广泛，有学者将前期的一些研究成果进行集成，形成了方便研究者使用的工具箱。Fast MPC是目前应用较为普遍的快速求解工具箱。它的基本思想是在求解器得到符合目标精度的结果后就提前结束迭代过程，即不再要求每一步计算过程都得到最优解。实验结果表明，应用该工具箱处理含有450个变量和1 284个约束条件的复杂系统时，可以达到200 Hz的计算速度[60]。多参数规划工具箱(Multi-parametric Toolbox，MPT)是一类快速求解线性规划或者二次规划问题的工具箱。其基本原理是通过应用多参数规划方法得到约束最优控制序列与状态之间的显式函数关系，减少规划问题求解的工作量[61，62]。

7.轨迹跟踪算法及存在的问题小结

对基于模型预测控制的轨迹跟踪算法已经有了一定的研究，对车辆动力学的建模已经比较成熟，仿真和实验都验证了算法的可行性与可靠性。主要突破点为以下两个方面。

(1)对动力学模型合理简化，减少控制器的在线计算量，提高控制系统的实时性。

(2)对高速情况下的动力学模型进行分析，提高控制系统在车辆高速行驶时的控制精度。

高速车辆在危险障碍规避时的运动轨迹跟踪控制过程中，为保证控制算法满足非线性约束和实时性要求，采用了车辆动力学模型的降维方法；但目前设计的运动轨迹跟踪控制器中大都采用数值优化解算非线性轮胎模型，模型的复杂性增加了计算负担。

非线性系统的微分平坦输出特性能有效地将运动轨迹的动力学和运动学Kinodynamic约束映射为几何平滑约束，简化了非线性系统规划与控制计算复杂度，同时将车辆前轮附近的振动中心位置属性作为非线性自行车模型的平坦输出，在高速滑动漂移的运动轨迹跟踪控制中有很好的研究价值。

时变加速度车辆动力学模型(横摆动力学及其他约束等效模型)跟踪时变曲率轨迹的控制稳定性分析尚待突破。