随机变量函数的数学期望：计算方法详解概率论与数理统计

关于随机变量X的连续函数g（X）的数学期望，有下面的定理.

定理1　设随机变量Y是随机变量X的函数Y＝g（X）（g为连续函数）.

（1）当X为离散型随机变量，其分布律为

P(X＝xk)＝pk， k＝1，2，…，

若绝对收敛，则有

（2）当X为连续型随机变量，其密度函数为f（x），若绝对收敛，则有

这个定理说明，在求Y＝g（X）的数学期望时，不必知道Y的分布，只需知道X的分布就可以了.

对两个或多个随机变量的函数，也有类似上述定理的结果.

设Z是随机变量X，Y的函数，Z＝g（X，Y）（g为连续函数）.若离散型随机变量（X，Y）的分布律为

P(X＝xi，Y＝yj)＝pij， i，j＝1，2，…，

则有

若连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f（x，y），则有(www.xing528.com)

式（3.6）右端的级数和式（3.7）右端的积分都要求绝对收敛.

例9　设随机变量X的分布率为

求E（X），E（X 2），E（3X－1）.

解　E（X）＝（－1）×0.2＋0×0.7＋3×0.1＝0.1.

E(X 2)＝(－1)2×0.2＋02×0.7＋32×0.1＝1.1.

E(3X－1)＝(－4)×0.2＋(－1)×0.7＋8×0.1＝－0.7.

例10　设随机变量X～B（n，p），Y＝e2X.求E（Y）.

解　X～B（n，p），分布律为

P(X＝k)＝p kq n－k， k＝0，1，2，…，n.

由式（3.4）得