概率论与数理统计：随机变量简介

在随机试验中，有些试验的结果本身就是用数值表示的，引入变量表示试验结果，由于试验的结果是随机的，故变量的取值也是随机的，这种变量称为随机变量.

【例1】 掷一颗均匀的骰子，出现的点数X是一个随机变量.

【例2】 某路口上午9：00～10：00通过的汽车数量Y是一个随机变量.

【例3】 灯泡的寿命Z是一个随机变量.

在随机试验中，还有不少的试验其结果本身不是数，这时可根据研究需要设计随机变量.

【例4】 抛一枚硬币，观察出现的结果，其样本空间Ω={反面，正面}.可设计一个随机变量X如下：

在此可将X解释为“抛一枚硬币出现正面的次数”.

【例5】 抛一枚硬币两次，则有4个样本点，若记X为“出现正面的次数”，则X与样本点之间有如下对应关系：

这样X取各种值就是如下互不相容事件：

{X=0}={ω1}；{X=1}={ω2，ω3}；{X=2}={ω4}.

下面给出随机变量的一般定义.

定义2.1 定义在样本空间Ω上的实值函数X=X（ω）称为随机变量.常用大写字母X，Y，Z…或希腊字母ξ，ȵ…表示.(www.xing528.com)

定义表明：随机变量X是样本点ω的一个函数，函数的自变量（样本点）可以是数，也可以不是数，但因变量一定是实数.

根据随机变量取值的不同，可将其分为两类：一类随机变量的取值为有限多个或可列无穷多个，称其为离散型随机变量；另一类就是非离散型随机变量，包括连续型和混合型.由于混合型情况较复杂，一般情况下我们只关注实际中常用到的连续型.连续型随机变量的可能取值连续地充满一个区间.

概率论中的随机变量是一种“随机取值的变量”.以离散型随机变量X为例，我们不仅要知道X取哪些值，还要知道它取这些值的概率，这就是离散型随机变量的分布，有没有分布是区分一般变量与随机变量的主要标志.

引入随机变量后，随机事件就可以通过随机变量来表示，如例1中事件{出现1点}可用{X=1}表示；例2中事件{通过汽车数量不超过20辆}可用{Y≤20}表示；例3中事件{灯泡寿命大于5 000小时}可用{Z＞5 000}表示.这样，就可以将对事件及其概率的研究转化为随机变量及其分布的研究.

对于随机变量X，不仅要知道X取哪些值，而且要知道X取这些值的概率，更重要的是X在某区间内取值的概率.由于

{x1＜X≤x2}={X≤x2}-{X≤x1}

{X＞x}=Ω-{X≤x}

于是有

P（x1＜X≤x2）=P（X≤x2）-P（X≤x1）

P（X＞x）=1-P（X≤x）

因此，对任意实数x，事件{X≤x}的概率P（X≤x）成了关键角色，于是引入分布函数的概念.