独立随机变量-概率论与数理统计

定义2.18 设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x，y），边缘分布函数分别为FX（x），FY（y），若对任意实数x，y，都有

F（x，y）=FX（x）·FY（y）

则称随机变量X和Y是相互独立的.

此定义中的等式又可写为

P（X≤x，Y≤y）=P（X≤x）·P（Y≤y）

定理2.5 （1）若（X，Y）为离散型随机变量，其概率分布为

P（X=xi，Y=yj）=pij，i，j=1，2，…

则X与Y相互独立的充要条件是

P（X=xi，Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj）， i，j=1，2，…

（2）若（X，Y）为连续型随机变量，其密度函数为f（x，y），边缘密度函数分别为fX（x），fY（y），则X与Y相互独立的充要条件是

f（x，y）=fX（x）·fY（y）

【例9】 已知随机变量（X，Y）的概率分布为

且X与Y相互独立，求a与b的值.

解 由于X与Y相互独立，所以

P（X=1，Y=1）=P（X=1）P（Y=1）

P

（X=1，Y=3）=P（X=1）P（Y=3）

即

解之得

【例10】 本节例1中X与Y是否独立？

解 （1）无放回抽取：（X，Y）的概率分布及边缘分布如下表所示：

其中

显然

P（X=0，Y=0）≠P（X=0）P（Y=0）

故X与Y不独立.

（2）有放回抽取：（X，Y）的概率分布及边缘分布如下表所示：

显然

P（X=xi，Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj），i，j=1，2，…

故X与Y相互独立.

【例11】 已知随机变量X，Y相互独立，其概率分布分别为(www.xing528.com)

求随机变量（X，Y）的概率分布.

解 （X，Y）的可能取值为（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-1），（1，0），（1，1）.

由X，Y相互独立得

P（X=i，Y=j）=P（X=i）P（Y=j），i=0，1， j=-1，0，1

于是有

P（X=0，Y=-1）=0.08， P（X=0，Y=0）=0.20

P（X=0，Y=1）=0.12， P（X=1，Y=-1）=0.12

P（X=1，Y=0）=0.30， P（X=1，Y=1）=0.18

则（X，Y）的概率分布为

【例12】 已知随机变量（X，Y）的密度函数为

问：X与Y是否独立？

解 当x＞0时，

当x取其他值时，

于是得X的密度函数为

同理得Y的密度函数为

当x＞0且y＞0时，

当x，y不同时大于0时，

故对任意实数x，y，都有fX（x）·fY（y）=f（x，y）成立，所以X与Y相互独立.

【例13】 已知随机变量（X，Y）的密度函数为

问：X与Y是否独立？

解 如图2.17所示

图2.17

当0≤x≤1时，

当x取其他值时，

于是得X的密度函数为

当0≤y≤1时，

当y取其他值时，

于是得Y的密度函数为

当0≤x≤1，0≤y≤1时，f（x，y）≠fX（x）·fY（y），故X与Y不独立.