随机变量函数数学期望，概率论与数理统计

3.1.3.1 一维随机变量函数的数学期望

要求随机变量X的某一函数Y=g（X）的数学期望.如果知道随机变量Y的概率分布，则可根据数学期望的定义求E（Y）；但是，如果不知道Y的概率分布而知道X的概率分布，也可直接求出Y的数学期望.

定理3.1 设随机变量Y是随机变量X的连续函数Y=g（X），且Y的数学期望存在，那么

（1）若X是离散型随机变量，其概率分布为

P（X=xi）=pi，i=1，2，…

则

（2）若X是连续型随机变量，其密度函数为fX（x），则

【例10】 随机变量X的概率分布为

求E（2X+3）和E（X2-1）

解 由上述定理可知

E（2X+3）=[2×（-2）+3]×0.3+（2×0+3）×0.1+（2×1+3）×0.4+（2×2+3）×0.2

=-0.3+0.3+2.0+1.4=3.4

E（X2-1）=[（-2）2-1]×0.3+（02-1）×0.1+（12-1）×0.4+（22-1）×0.2

=0.9-0.1+0+0.6=1.4

【例11】 已知随机变量X的密度函数为

求随机变量Y=sinX的数学期望E（Y）.(www.xing528.com)

【例12】 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光.电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行.假设一游客在早八点的第X分钟到达底层电梯处，且X在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.

解 已知X～U（0，60）其概率密度为

设Y是游客等候电梯的时间（单位：分），则

因此

3.1.3.2 二维随机变量函数的数学期望

定理3.2 设随机变量Z是随机变量（X，Y）的连续函数Z=g（X，Y），且Z的数学期望存在，那么

（1）若（X，Y）是离散型随机变量，其联合概率分布为

P（X=xi，Y=yj）=pij，i=1，2，…，j=1，2，…

则

（2）若（X，Y）是连续型随机变量，其密度函数为f（x，y），则

这里要求上述的级数和积分都是绝对收敛的.

【例13】 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为

求E（X2Y）.

解 设Z=g（X，Y）=X2Y

则