二维随机变量函数的分布-概率论与数理统计

2.7.2.1 二维离散型随机变量函数的分布

已知离散型随机变量（X，Y）的概率分布，如何求函数Z=g（X，Y）的概率分布？类似于一维情形，求解步骤如下：

（1）列表由（X，Y）的所有可能取值（xi，yj），i，j=1，2，…，确定Z的可能取值g（xi，yj），i，j=1，2，…；

（2）求取相应值的概率

若g（xi，yj），i，j=1，2，…中有取值相等的，将相应的概率相加；

（3）写出Z的概率分布.

【例7】 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

求Z=XY的概率分布.

解 列表确定Z的取值

Z的可能取值为0，1，2，3，而

P（Z=0）=0.10+0.10+0.30=0.50

故Z=XY的概率分布为

【例8】 设二维随机变量（X，Y）的两个边缘分布如下：

已知X，Y相互独立，求下列随机变量函数的概率分布.

（1）Z=X+Y2； （2）U=max（X，Y）.

解 由X，Y相互独立可得（X，Y）的概率分布为

（1）列表确定Z的取值

Z的可能取值为0，1，2，而

故Z=X+Y2的概率分布为

（2）列表确定U的取值

U的可能取值为0，1，而

故U=max（X，Y）的概率分布为

【例9】 设随机变量X，Y相互独立，且分别服从P（λ1），P（λ2），证明

Z=X+Y～P（λ1+λ2）

证明 依题意知X，Y的概率分布分别为

由X，Y相互独立得

故

Z=X+Y～P（λ1+λ2）

2.7.2.2 二维连续型随机变量函数的分布

已知二维连续型随机变量（X，Y）的密度函数，如何求其函数Z=g（X，Y）的密度函数？类似于一维情形，求解步骤如下：

（1）先求Z=g（X，Y）的分布函数

D是一个区域，与z有关；

（2）分布函数对z求导，得Z的密度函数fZ（z）=F′Z（z）.

【例10】 已知随机变量（X，Y）密度函数为

求Z=2X+Y的概率密度.

解 先求Z的分布函数.

当z＞0时，如图2.19（1）所示.

图2.19

当z≤0时，如图2.19（2）所示，2X+Y≤z表示随机变量（X，Y）落在以2x+y=z为边界的左下方区域，此时密度函数f（x，y）的取值为0，所以有

FZ（z）=P（Z≤z）=P（2X+Y≤z）=0

于是Z的分布函数可表示为

求导得Z的密度函数为

【例11】 设随机变量X，Y相互独立，且X～U（0，1），Y～E（1），求Z=X+Y的概率密度.

解 依题意知X，Y的密度函数分别为

由于X，Y相互独立，所以X与Y的联合密度为

先求Z的分布函数，当z＞0时

其中，D={（x，y）|0≤x≤1，y＞0且x+y≤z}，如图2.20所示.由于0＜z＜1与z≥1时积分区域D的形状不同，因此，需分别讨论.

图2.20

当0＜z＜1时，如图2.20（1）所示(www.xing528.com)

当z≥1时，如图2.20（2）所示

当z≤0时，如图2.21所示，X+Y≤z表示随机变量（X，Y）落在以直线x+y=z为边界的左下方区域，此时密度函数f（x，y）的取值为0，所以有

FZ（z）=P（Z≤z）=P（X+Y≤z）=0

图2.21

于是Z的分布函数可表示为

求导得Z的密度函数

在实际应用中，求两个随机变量和的分布较为常见.即已知随机变量（X，Y）的概率密度f（x，y），求Z=X+Y的概率密度.

先求Z的分布函数，如图2.22所示

图2.22

令u=x+y，则y=u-x，dy=du，于是有

求导得Z的密度函数

特别是，当X，Y相互独立时，有

这个公式称为卷积公式.将X，Y的地位对调，得卷积公式的另一种形式

【例12】 设随机变量X，Y相互独立，且都服从E（λ），求Z=X+Y的概率密度.

解 由X，Y都服从E（λ），得X，Y的密度函数分别为

利用卷积公式

为保证fX（x）fY（z-x），需满足x＞0，z-x＞0，即0＜x＜z.

当z≤0时，

fZ（z）=0

当z＞0时，

于是得Z的密度函数

【例13】 （最大值分布与最小值分布）设X，Y相互独立，它们的分布函数分别为FX（x），FY（y），分别求U=max（X，Y）与V=min（X，Y）的分布函数.

解 U的分布函数

FU（u）=P（U≤u）=P（max（X，Y）≤u）

=P（X≤u，Y≤u）=P（X≤u）P（Y≤u）

=FX（u）·FY（u）

V的分布函数

FV（v）=P（V≤v）=P（min（X，Y）≤v）=1-P（min（X，Y）＞v）

=1-P（X＞v，Y＞v）=1-P（X＞v）P（X＞v）

=1-[1-FX（v）]·[1-FY（v）]

本题的两个结论可推广至n个随机变量的情形.

【例14】 设X，Y是独立同分布的两个随机变量，都服从（0，θ）上的均匀分布，其中θ＞0，试求U=max（X，Y）与V=min（X，Y）的密度函数.

解 均匀分布U（0，θ）分布函数

当u＜0时，

FU（u）=FX（u）·FY（u）=0

当0≤u＜θ时，

当u≥θ时，

FU（u）=FX（u）·FY（u）=1

于是U的分布函数可表示为

求导得U的密度函数

当v＜0时，

FV（v）=1-[1-FX（v）]·[1-FY（v）]=0

当0≤v＜θ时，

当v≥θ时，

FV（v）=1-[1-FX（v）]·[1-FY（v）]=1

于是V的分布函数可表示为

求导得V的密度函数