闭合导线坐标计算：建筑工程测量

1.角度闭合差的计算与调整

闭合导线从几何上看，是一多边形，见图5-8所示。其内角和在理论上应满足下列关系：

图5-8　闭合导线示意图

∑β理=180°·（n-2）

但由于测角时不可避免地有误差存在，使实测得内角之和不等于理论值，这样就产生了角度闭合差，以fβ来表示，则：

式中：n——闭合导线的转折角数；

∑β测——观测角的总和。

算出角度闭合差之后，如果fβ值不超过允许误差的限度，（一般为±40，n——角度个数），说明角度观测符合要求，即可进行角度闭合差调整，使调整后的角值满足理论上的要求。

由于导线的各内角是采用相同的仪器和方法，在相同的条件下观测的，所以对于每—个角度来讲，可以认为它们产生的误差大致相同，因此在调整角度闭合差时，可将闭合差按相反的符号平均分配于每个观测内角中。设以Vβi表示各观测角的改正数，β测i表示观测角，βi表示改正后的角值，则：

βi=β测i+Vβi（i=1，2，…n）

当上式不能整除时；则可将余数凑整到导线中短边相邻的角上，这是因为在短边测角时由于仪器对中、照准所引起的误差较大。

各内角的改正数之和应等于角度闭合差，但符号相反，即∑Vβ=-fβ。改正后的各内角值之和应等于理论值，即∑βi=（n-2）·180°。

例1：某导线是一个四边形闭合导线。四个内角的观测值总和∑β测=359°59′14″。

由多边形内角和公式计算可知：

∑理=（4-2）·180°=360°

则角度闭合差为：

fβ=∑β测-∑β理=-46″

按要求允许的角度闭合误差为：

fβ允=±40″=±40″=±1′20″

则f β在允许误差范围内，可以进行角度闭合差调整。

依照（6-13）式得各角的改正数为

由于不是整秒，分配时每个角平均分配+11″，短边角的改正数为+12″。改正后的各内角值之和应等于360°。

2.坐标方位角推算

根据起始边的坐标方位角αAB及改正后（调整后）的内角值βi，按（5-10）式依次推算各边的坐标方位角。

3.坐标增量的计算

如图5-9所示，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（XA、YA）和B（XB、YB），它们相应的坐标差称为坐标增量，分别以ΔX和ΔY表示，从图中可以看出：(www.xing528.com)

导线边AB的距离为DAB，其方位角为αAB，则：

ΔXAB、ΔYAB的正负号从图5-10中可以看出，当导线边AB位于不同的象限，其纵、横坐标增量的符号也不同。也就是当αAB在0°～90°（即第一象限）时，ΔX、ΔY的符号均为正，αAB在90°～180°（第二象限）时，ΔX为负，ΔY为正；当αAB在180°～270°（第三象限）时，它们的符号均为负；当αAB在270°～360°（第四象限）时，ΔX为正，ΔY为负。

图5-9　坐标增量计算示意图　

图5-10　不同象限导线边坐标方位角示意图

4.坐标增量闭合差的计算与调整

1）坐标增量闭合差的计算

如图5-11所示，导线边的坐标增量可以看成是在坐标轴上的投影线段。从理论上讲，闭合多边形各边在X轴上的投影，其+ΔX的总和与-ΔX的总和应相等，即各边纵坐标增量的代数和应等于零。同样在Y轴上的投影，其+ΔY的总和与-ΔY的总和也应相等，即各边横坐标量的代数和也应等于零。也就是说闭合导线的纵、横坐标增量之和在理论上应满足下述关系：

但因测角和量距都不可避免地有误差存在，因此根据观测结果计算的∑ΔX算、∑ΔY算都不等于零，而等于某一个数值fx和fy。即：

式中：fx——称为纵坐标增量闭合差；

fy——称为横坐标增量闭合差。

从图5-12中可以看出fx和fy的几何意义。由于fx和fy的存在，就使得闭合多边形出现了一个缺口，起点A和终点A′没有重合，设AA′的长度为fD，称为导线的全长闭合差，而fx和fy正好是fD在纵、横坐标轴上的投影长度。所以

图5-11　闭合导线坐标增量示意图

图5-12　闭合导线坐标增量闭合差示意图

2）导线精度的衡量

导线全长闭合差fD的产生，是由于测角和量距中有误差存在的缘故，所以一般用它来衡量导线的观测精度。可是导线全长闭合差是一个绝对闭合差，且导线愈长，所量的边数与所测的转折角数就愈多，影响全长闭合差的值也就愈大，因此，须采用相对闭合差来衡量导线的精度。设导线的总长为∑D，则导线全长相对闭合差K为：

若K≤K允，则表明导线的精度符合要求，否则应查明原因进行补测或重测。

3）坐标增量闭合差的调整

如果导线的精度符合要求，即可将增量闭合差进行调整，使改正后的坐标增量满足理论上的要求。由于是等精度观测，所以增量闭合差的调整原则是将它们以相反的符号按与边长成正比例分配在各边的坐标增量中。设VΔXi、VΔYi分别为纵、横坐标增量的改正数，即

式中：∑D——导线边长总和；

Di——导线某边长（i=1，2，…n）。

所有坐标增量改正数的总和，其数值应等于坐标增量闭合差，而符号相反，即

改正后的坐标增量应为：

5.坐标推算

用改正后的坐标增量，就可以从导线起点的已知坐标依次推算其他导线点的坐标，即：