中职数学升学考试教程：一元二次方程解法

考点剖析：掌握一元二次方程的常用解法和根的判别式；理解一元二次方程的根与系数的关系；掌握一元二次方程的应用.

1.一元二次方程的解法有：公式法、因式分解法、配方法等.

2.在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，Δ=b2-4ac称为根的判别式.

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，即；

当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，即；

当Δ＜0时，方程没有实数根.

注：当Δ≥0时方程有实数根.

3.韦达定理（根与系数的关系）：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则.

【题型1】解一元二次方程

例1　分别用公式法和因式分解法解方程x2-x-6=0.

解法1：（公式法）　Δ=b2-4ac=（-1）2-4×1×（-6）=25＞0

则，

所以x1=3，x2=-2.

解法2：（因式分解法）　由原方程得（x-3）（x+2）=0

即x-3=0或x+2=0，

所以x1=3，x2=-2.

赢在起点

1.方程x2-4=0的解为__________________.

2.方程x2+5x=0的解为___________________.

3.方程x2+x-6=0的解为___________________.

【题型2】解决一元二次方程相关问题

例1　已知关于x的方程2x2+（m-1）x+m-1=0，当m取何值时，

（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根.

解：因为Δ=b2-4ac=（m-1）2-4×2（m-1）=m2-10m+9=（m-1）（m-9）

所以（1）当Δ＞0即m＜1或m＞9时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当Δ=0即m=1或m=9时，方程有两个相等的实数根；

（3）当Δ＜0即1＜m＜9时，方程没有实数根.

例2　设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的两个根，求下列各式的值：

（1）（x1+1）（x2+1）；（2）（x1-x2）2；（3）.

解：由韦达定理可得

（1）（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1

=+3+1

=.

（2）（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2

=32-4×

=3.

（3）.

赢在起点

1.设x1、x2是方程x2-3x-1=0的两个根，则x1+x2=__________；x1·x2=__________.

2.若关于x的方程x2-ax-3a=0的一个根是-2，则它的另一个根是____________.(https://www.xing528.com)

3.已知关于x的方程x2-mx+m=0，当m=___________时方程有两个相等的实根.

填空题

1.方程（2x-1）（3x+1）=0的解为________________.

2.方程x2-3x=0的解为________________.

3.方程x2-9=0的解为________________.

4.方程x2-2x-3=0的解为________________.

5.方程x2-3x-10=0的解为________________.

6.方程x2-5x+6=0的解为________________.

7.方程x2+x-12=0的解为________________.

8.方程3x2-x-1=0的解为________________.

9.方程x2-3x+1=0的解为________________.

10.方程x2-4x-5=0的解为________________.

11.方程x2-x=1的解为________________.

12.方程x2-4x=2的解为________________.

一、填空题

1.方程（x+2）2-25=0的解为____________.

2.如果方程2x2+kx-8=0有一个实数根是2，那么k=____________.

3.若关于x的方程x2-ax+3a=0的一个根是-3，则它的另一个根是____________.

4.已知方程x2+px-q=0的一个根为-2+，可求得p=____________，q=____________.

5.如果一元二次方程x2+6x+3=0的两根为x1、x2，则=____________.

6.若一元二次方程x2-x+m=0有两个不等的实数根，则m的取值范围是____________.

二、选择题

1.关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　）.

A.k≤　B.k≥　C.k≥且k≠0　D.k≤且k≠0

2.关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（　）.

A.x2+3x-2=0　B.x2-3x+2=0

C.x2-2x+3=0　D.x2+3x+2=0

3.已知关于x的方程x2-（2k-1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（　）.

A.-2　B.-1　C.0　D.1

4.若方程x2+mx+4=0两根之差的平方为48，则m的值为（　）.

A.±8　B.8　C.-8　D.±4

三、解答题

1.已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0，当m取何值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根.

2.如果2-是方程x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值.

1.已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值.

2.已知x1，x2是关于x的方程x2+（2a-1）x+a2=0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值.

3.设x1，x2是方程x2-3x+1=0的两个根，求下列各式的值.

（1）；（2）（x1-x2）2；（3）.