函数的单调性和奇偶性-中职数学升学考试教程

考点剖析：了解单调函数、奇偶函数的概念及其图像特征；掌握简单的函数单调性、奇偶性的判定方法，会根据函数的单调性和奇偶性比较大小和求值.

1.函数单调性的定义

y=f（x）的定义域为A，若D⊆A，对任意的x1，x2∈D，且x1＜x2，

（1）都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）在D上为增函数，D为增区间，如图（a）；

（2）都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）在D上为减函数，D为减区间，如图（b）.

2.判定函数单调性的一般方法：图像法、定义法.

3.函数奇偶性的定义

若函数y=f（x）的定义域是D，

（1）任取x∈D，都有-x∈D，且f（-x）=f（x），则称f（x）为在定义域D内的偶函数；

（2）任取x∈D，都有-x∈D，且f（-x）=-f（x），则称f（x）为在定义域D内的奇函数.

注：偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称.

【锦囊妙计】识记常见基本函数的大致图形可迅速判断函数的单调性与奇偶性.

4.函数奇偶性的分类：

（1）定义域关于原点对称

（2）定义域不关于原点对称：非奇非偶函数.

【题型1】判断常见函数的单调性

例　判断下列函数的单调性

（1）y=2x+1　（2）y=-x3（　3）y=　（4）y=x2

解：（1）一次函数y=2x+1在定义域R上是增函数；

（2）函数y=-x3在定义域R上是减函数；

（3）反比例函数y=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数；

（4）二次函数y=x2在（-∞，0］上是减函数，在［0，+∞）上是增函数.

赢在起点

1.判断下列函数在其定义域内为增函数的是（　）.

A.y=　B.y=2x+1　C.y=log0.5（x+1）　D.y=x2+1

2.函数f（x）=x2-2x+3的增区间为________，减区间为________.

【题型2】利用函数的单调性比较大小

例　（1）若函数f（x）在R上是增函数，则f（-1）____f（2）；若是减函数，则f（-1）____f（2）.

（2）若函数f（x）在R上是增函数，且f（a）＜f（b），则a________b；若为减函数，则a________b.

解：（1）＜，＞；（2）＜，＞.

赢在起点

1.若函数f（x）在定义域R上是减函数，则f（-3），f（5），f（-9）的大小顺序 是_________________.

2.若函数f（x）在定义域R上是增函数，则f（a2+2）________f（2a）.

3.下列函数中，在其定义域内为增函数的是（　）.

A.f（x）=-2x+1　B.f（x）=x2+1　C.f（x）=　D.f（x）=log2x+1

【题型3】判断函数在其定义域内的奇偶性

例　判断下列函数的奇偶性

（1）f（x）=x2+1，（2）f（x）=，（3）f（x）=x2，x∈[-1，3].

解：（1）原函数的定义域是R，定义域关于原点对称

由f（x）=x2+1得

f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x）

所以原函数是偶函数.

（2）原函数的定义域是x≠0，定义域关于原点对称

由f（x）=得

所以原函数是奇函数.

（3）因为x的取值范围［-1，3］不关于原点对称，所以原函数是非奇非偶函数.

赢在起点

1.判断下列函数的奇偶性.

（1）f（x）=，　（2）f（x）=，　（3）f（x）=-x3，　（4）f（x）=x2，x∈（-1，1］.

2.已知函数f（x）=，则f（x）是（　）.

A.偶函数　B.奇函数

C.非奇非偶函数　D.既是奇函数又是偶函数.

【题型4】函数单调性与奇偶性的简单应用

例　1.填空题

（1）已知函数f（x）在（-∞，+∞）上是奇函数，且f（-2）=3，则f（2）=________.

（2）已知函数f（x）=x2-（1+m）x+2为偶函数，则m=________.

（3）已知函数f（x）=x3+2x，且f（a）=5，则f（-a）=________.

2.已知f（x）在R上是偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，则下列不等式成立的是（　）.

A.f（4）＞f（1）＞f（-2）　B.f（4）＜f（1）＜f（-2）

C.f（4）＞f（-2）＞f（1）　D.f（4）＜f（-2）＜f（1）

解：1.（1）-3；（2）-1；（3）-5.　2.　C.

赢在起点

1.（1）已知函数f（x）=x4+2x2+c，且f（m）=5，则f（-m）=________.

（2）已知函数f（x）=ax3+bx+5，且f（3）=5，则f（-3）=____________.

2.已知f（x）在R上是奇函数，且f（-4）＜f（-1）＜f（-3），则下列不等式成立的是（　）.

A.f（4）＜f（1）＜f（3）　B.f（4）＞f（1）＞f（3）

C.f（1）＜f（3）＜f（4）　D.f（1）＞f（3）＞f（4）

一、填空题

1.函数f（x）=-3x+2在R上是____________函数（填“增”或“减”）.

2.函数f（x）=x3在R上是____________函数（填“增”或“减”）.

3.函数f（x）=x在R上是____________函数（填“增”或“减”）.

4.函数f（x）=在（-∞，0）上是____________函数，在（0，+∞）上是____________函数（填“增”或“减”）.

5.函数f（x）=x2在（-∞，0）上是____________函数（填“增”或“减”）.

6.判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=-2x+1　（2）f（x）=x2，x∈（-2，1）　（3）f（x）=

（4）f（x）=6　（5）f（x）=2x+x3　（6）f（x）=

（7）f（x）=x-2　（8）f（x）=x2+　（9）f（x）=

（10）f（x）=sin x　（11）f（x）=cos x　（12）f（x）=tan x

7.若f（x）在（-∞，0）上是减函数，则f（-2）________f（-1）（填“＞”或“＜”）.

8.若f（x）是偶函数，则f（-2）=3，f（2）=____________.

二、选择题(www.xing528.com)

1.下列函数既不是奇函数又不是偶函数的是（　）.

A.y=x　B.y=2x2　C.y=　D.y=3x

2.下列函数在其定义域内为减函数的是（　）.

A.f（x）=　B.f（x）=-2x2C.f（x）=　D.f（x）=-3x+1

3.已知f（x）在R上是奇函数，且f（1）=-2，f（3）=1，则f（3）与f（-1）的大小关系

是（　）.

A.f（3）＞f（-1）　B.f（3）＜f（-1）　C.f（3）=f（-1）　D.不能确定

4.已知f（x）=x2+bx的定义域上是偶函数，则b的值为（　）.

A.-1　B.0　C.1　D.2

5.下列图像中表示奇函数的是（　）.

A.

B.

C.

D.

一、填空题

1.已知f（x）=x2+mx+3是R上的偶函数，则m=________.

2.若f（x）=x2-（2m+1）x-1是R上的偶函数，则m=________.

3.若f（x）=x3+ax2+x是R上的奇函数，则a=________.

4.已知f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，则a的取值范围是________.

5.若f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0］上是减函数，且f（2）=0，则使f（x）＜0的x的取值范围是________.

二、选择题

1.已知函数f（x）在R上是减函数，若a+b＞0，则（　）.

A.f（a）＞f（b）　B.f（a）＜f（b）

C.f（a）＞f（-b）　D.f（a）＜f（-b）

2.已知函数f（x）=（x≠0），则此函数是（　）.

A.奇函数　B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数　D.既不是奇函数又不是偶函数

3.若f（x）是偶函数，且当x＜0时，f（x）是增函数，则有（　）.

A.f（3）＞f（-2）　B.f（3）=f（-2）

C.f（3）＜f（-2）　D.无法判断

4.已知函数f（x）=log0.5x，则f（2）与f（3）的大小关系是（　）.

A.f（2）＞f（3）　B.f（2）=f（3）

C.f（2）＜f（3）　D.不能确定

5.设f（x）为R上以2为周期的偶函数，在［-1，0］上是减函数，则f（x）在［2，3］上是（　）.

A.增函数　B.减函数

C.先增后减　D.先减后增

三、解答题

1.f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，求不等式f（x）＞f［8（x-2）］的解集.

2.求函数f（x）=的定义域.

【拓展练习】

1.下列函数在区间（-∞，1）上为增函数的是（　）.

A.f（m）=5　B.f（x）=1-x2　C.f（x）=-（x-2）2D.f（x）=-3x+1

2.函数的定义域为（　）.

A.（-∞，1）∪（2，+∞）　B.（-∞，1］∪［2，+∞）

C.（-1，2）　D.［-1，2］

3.已知函数，其中a＞0，2f（1）=f（-1），则a=________.

4.判断函数f（x）=的奇偶性.

5.函数f（x）对任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且f（x）在R上是增函数，若f（3）=4，解不等式f（a2+a-5）＜2.

自我评价

（满分100分，时间45分钟）　评价结果：__________

一、填空题（每题5分，共50分）

1.函数y=的定义域是｛-2，0，1｝，则值域是________.

2.函数y=的定义域是________.

3.已知y=-3x2+x-2，则f（-2）=________；f（2）=________.

4.函数y=kx+3，当x=-2时函数值为1，则k=____________.

5.已知函数f（x）=则f［f（0）］=__________.

6.函数f（x）=的定义域是____________.

7.（2008年高考题）已知函数f（x）=x2+2x-1，则f（0）=____________.

8.若函数y=f（x）的图像关于原点对称，且f（5）=-8，则f（-5）=____________.

9.判断下列函数的奇偶性：

（1）y=x+1____________；（2）y=x2+1____________；

（3）y=________；（4）y=____________.

10.设函数解析式为f（x）=5，则f（x2）=____________.

二、选择题（每题5分，共20分）

1.下列函数既不是奇函数又不是偶函数的是（　）.

A.y=-x　B.y=x2+1　C.y=　D.y=3x+1

2.下列函数在（0，+∞）上为增函数的是（　）.

A.y=-3x+2　B.y=　C.y=-2x2+x　D.y=3x2-x

3.函数f（x）=的定义域为（　）.

A.（2，+∞）　B.（-∞，2］　C.［2，+∞）　D.［0，2］

4.下列定义域关于原点对称的函数是（　）.

A.y=　B.y=

C.y=x2+1，x∈［-1，1）　D.y=x3+1

三、解答题（每题10分，共30分）

1.求函数的定义域.

2.求函数的定义域.

3.已知函数f（x）的定义域为R，它的图像关于原点对称，且f（2）=m2+2m，f（-2）=m-4，求实数m的值.

几种常见函数

考纲内容：一元二次函数.

考纲要求：掌握一元二次函数的图像和性质，能用函数、方程、不等式的知识解决有关简单实际问题.