每月还本付息：某人贷款购车12万元，一年还完

考点剖析：理解等差数列的概念，识记等差数列的通项公式、等差中项、前n项和的公式，会求等差数列的通项公式、等差中项、前n项和，能用数列知识解决有关简单实际问题.

1.等差数列的定义

（1）定义：一个数列从它的第二项起，每一项与它的前一个项之差都是同一个常数，这样的数列称为等差数列.这个常数称为公差，通常用d来表示.

（2）定义表达式：即an+1-an=d（常用此定义来判断或证明一个数列是否是等差数列）.

2.等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则数列的通项公式为

an=a1+（n-1）d.

推导：　an=am+（n-m）d.

3.等差中项

a，A，b三数成等差数列，A称为a与b的等差中项且

4.等差数列的前n项和公式

（1）已知等差数列{an}的首项a1和第n项an，则前n项和公式

（2）已知等差数列{an}的首项a1与公差d，则前n项和公式

5.性质：设{an}为等差数列，p，q，m，n为正整数，

当p+q=m+n时，有ap+aq=am+an（注：等式两端的项数之和要相同）；

当m=n，而p+q=2m时，有ap+aq=2am，这表明当p，m，q成等差数列时，其对应项也成等差数列.这是等差中项的更一般的表达形式.

【锦囊妙计】3个数成等差数列时，通常设这3个数为：a-d，a，a+d.

【题型1】等差数列的定义及其通项公式

例　下列数列哪些是等差数列，如果是，其公差是多少？

（1）2，5，8，11，14，17，20；

（2）11，9，7，5，3，1，-1；

（3）5，5，5，5，5，5，5；

（4）3，-3，3，-3，3，-3，3；

（5）2，4，6，10，12，14，16.

解：（1）是，公差d=3；（2）是，公差d=-2；（3）是，公差d=0；（4）和（5）都不是.

赢在起点

1.（1）在等差数列｛an｝中，a1=8，公差d=2，则a2=________，a3=________，a4=________，其通项公式是________________；

（2）在等差数列｛an｝中，a1=8，公差d=-3，则a2=________，a3=________，a4=________，其通项公式是________________；

（3）在等差数列｛an｝中，a1=7，公差d=2，则a2=________，a3=________，a4=________，其通项公式是________________；

2.（1）在等差数列｛an｝中，a3=-13，公差d=2，则a2=________，a1=________，a4=________；

（2）在等差数列｛an｝中，a6=21，公差d=4，则a3=________，a1=________，a15=________.

3.（1）在等差数列｛an｝中，当公差d＞0时，其各项的值会逐渐_____________；

（2）在等差数列｛an｝中，当公差d＜0时，其各项的值会逐渐____________；

（3）在等差数列｛an｝中，当公差d=0时，其各项的值会逐渐__________.

【题型2】根据等差数列中的已知量，求其他未知量.

例1　在等差数列{an}中，a1=-60，a17=-12，求d，a20，S20.

解：因为a17=a1+16d，所以-12=-60+16d，d=3

又因为a20=a1+19d=-60+19×3=-3

所以

例2　已知等差数列{an}满足：a4=7，a10=19，求数列{an}的通项公式an及Sn.

解：设等差数列{an}的公差为d，则

解得

所以an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1

Sn=

赢在起点

1.（1）在等差数列｛an｝中，a1=1，公差d=2，则a8=________；

（2）在等差数列｛an｝中，若a4=13，a7=25，则公差d=________.

2.在等差数列｛an｝中，已知a2=2，a4=4，则数列｛an｝的通项公式an=____________.

3.（1）在等差数列｛an｝中，a1=2，a6=13，则S6=_____________；

（2）在等差数列｛an｝中，a1=2，公差d=3，则S8=__________.

【题型3】等差数列性质的应用

例1　在等差数列｛an｝中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（　）.

A.12　B.16　C.20　D.24

解：由等差数列的性质可知，a2+a10=a4+a8=16

例2　已知等差数列｛an｝的前n项和Sn，若a5+a4=18，则S8=（　）.

A.72　B.54　C.36　D.18

解：S8=

赢在起点

1.等差数列｛an｝中，a6+a9=16，a4=1，则a11=________________.

2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a5+a8=15，则S9=__________.

【题型4】运用等差数列知识解决实际问题

例　某一公司向银行贷款1200万元，进行一个项目建设，每月末还等额本金及当月应付利息，一年还完，月利率为0.5%，问公司实付全部本息为多少？

解：贷款1200万元，一年还完，则每月应还的本金=100万元.

第一月末还本金和利息金额为：1200×0.5%+100=106万元

第二月末还本金和利息金额为：（1200-100）×0.5%+100=5.5+100=105.5万元(www.xing528.com)

第三月末还本金和利息金额为：（1200-2×100）×0.5%+100=5+100=105万元

︙

第n月末还本金和利息金额为：［1200-（n-1）×100］×0.5%+100

=106+（n-1）×（-0.5）万元（n≤12）

所以每月末还的本金和利息金额数刚好构成一个等差数列，且首项a1=106万元，公差d=-0.5万元

所以一年后所还的本金和利息的总金额为：S12=万元

答：公司实付全部本息为1239万元.

赢在起点

1.某剧场有25排座位，后面一排都比前面一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧场的座位数构成了一个________数列，则这个剧场共有________个座位？

2.某人向某银行贷款12万元用于购买一辆小轿车，每月末还等额本金及当月应付利息，一年还完，月利率为0.8%，则一年后他的还款总金额是____________，一年后他还的利息总金额是__________.

一、填空题

1.已知等差数列前4项为0，2，4，6，…则数列的公差d=____________.

2.已知等差数列前4项为-2，1，4，7，…则数列的a6=____________.

3.已知等差数列1，3，5，…则公差为____________，它的首项a1=____________，通项an=____________，它的第20项为____________，则前20项的和S20=____________.

4.-3和9的等差中项为____________.

5.已知等差数列{an}中，a1=2，a4=8，则公差d=____________.

6.已知等差数列{an}中，a3=5，a7=21，则公差d=____________.

7.已知等差数列{an}中，a2+a8=12，则a5=____________.

8.已知等差数列{an}中，a1+a7=12，则a2+a6=____________.

9.已知等差数列{an}中，a1=3，a10=15，则S10=____________.

10.已知等差数列{an}中，a1=2，d=1，则S8=____________.

11.（2015年高考）已知等差数列2，5，8，…则2015是该数列的第________项.

二、选择题

1.判断下列数列中，（　）是等差数列.

A.1，2，4，7　B.3，0，-3，-6　C.3，6，9，15　D.2，4，8，16

2.已知等差数列前4项为-3，-1，1，3，…则数列的公差d=（　）.

A.-1　B.2　C.-3　D.1

3.数2和4的等差中项为（　）.

A.1　B.2　C.3　D.4

4.等差数列的前3项为1，4，7，…则它的第4项是（　）.

A.8　B.9　C.10　D.11

5.已知等差数列{an}中，a1=-4，a10=20，则S10=（　）.

A.80　B.16　C.320　D.160

一、填空题

1.等差数列{an}的前11项和S11=209，公差d=4，则a1的值为____________.

2.在等差数列{an}中，a5=10，a12=31，则数列的通项公式为____________.

3.在等差数列{an}中，a3+a8=25，则前10项S10=____________.

4.已知等差数列{an}中，a5+a7=10，则a2+a10=____________，a6=____________.

5.已知等差数列{an}中，a1=18，d=-3，Sn=18，则n=____________.

6.（2013年高考题）等差数列{an}中，首项a1=1，公差d=-2，则a4=____________.

7.如图所示，用火柴棒摆成正方形图形，则第50个图形需用火柴棒根.

8.某影院设置15排座位，第一排有10个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，则第15排的座位数是____________个.

9.已知一张小正方形桌子可坐4人，现按下图方式将小桌子拼凑成大桌子坐人.若要32人围坐在一张拼凑之后的大桌子旁，则需要__________张小正方形桌子拼凑.

10.已知等差数列3，6，9，12，…则其通项公式an=____________.

11.（2016年高考题）设{an}为等差数列a1=6，公差d=9，则该数列的前21项和为__________.

二、选择题

1.数列{an}中已知an+1=an+1，a1=3，则a10=（　）.

A.10　B.21　C.12　D.13

2.在等差数列{an}中，a9+a11+a16=63，则a12=（　）.

A.20　B.21　C.22　D.23

3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2，则数列的前10项和S10=（　）.

A.26　B.180　C.130　D.150

4.在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a8=（　）.

A.37　B.74　C.121　D.148

5.设数列{an}为等差数列，公差d=-2，Sn为前n项和且S10=S11，则a1=（　）.A.18　B.20　C.22　D.24

三、解答题

1.在等差数列{an}中，已知a5=8，a10=28，求d和an.

2.某工厂3年的生产计划中，3年的产值逐年增长且成等差数列，其总产值为300万元.在实际生产中，如果第一年、第二年、第三年的产值分别比原计划多10万元、10万元、11万元，那么这3年的产值又成等比数列.求原计划中每一年的产值.

3.公路安装电线线路需要用80根电线杆，用一辆货车从堆放电线杆的料场，每次装载8根电线杆，运到1050 m远的施工地，在1050 m处放一根，以后每隔50 m放一根，将8根电线杆放完后，返回料场，再次装载，继续运送安放.问：（1）这辆货车在安放完第一车8根电线杆后，返回料场，它的总行程为多少千米？（2）这辆货车完成全部80根电线杆的运输任务，并返回料场，它的总行程为多少千米？

4.（2015年高考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=-12，公差d=2，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sk=20，求k的值.

1.等差数列{an}中，已知Sn=5n2+3n，求a1，d，a20.

2.在等差数列{an}中，若a2，a6为方程x2-3x+2=0的两根，求数列的通项公式.

3.设｛an｝为等差数列，a3=12，S12＞0，S13≤0，d∈Z，求公差d.

4.有人购房，向银行贷款24万元，然后每月付本金和利息，1年还完，月利率为0.5%，问此人购房1年后实付银行多少万元？