大学应用数学：定积分在统计与经济分析中的应用

1.函数的平均值

图3.21

由积分中值定理知，函数f（x）在[a，b]上的平均值，相当于函数曲线在该区间上的平均高度，如图3.21所示，当f（x）≥0时，表示曲边梯形的面积，该面积一定与某一个与该曲边梯形等底的矩形面积相等，该矩形的高度就是函数曲线f（x）在区间[a，b]上的平均高度，即平均值，且平均值

例3.30　计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.

解　自由落体的速度函数为v=gt，所以平均速度为

2.根据边际函数求总函数

对收益函数R（Q）、总成本函数C（Q）求导数可得边际收益函数R′（Q）、边际成本函数C′（Q）.如果已知某产品的边际收益和边际成本函数，则当产量由a变到b时，总收益、总成本的改变量分别为

例3.31　设生产某产品的固定成本为1万元，边际收益为R′（Q）=8-Q（万元），边际成本为，Q为产量（百台）.

（1）求产量为4百台时的总收益、总成本、平均成本.

（2）求产量由4百台增加到5百台时的总收益、总成本增加量及平均成本.

（3）求产量为多少时，总利润最大.

解　（1）产量为4百台时的总收益为24（万元），总成本为固定成本与生产成本之和，即

平均成本为

（2）当产量由4百台增加到5百台时的增加收益为

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成本增加量为，增加部分的平均成本为

（3）总利润函数为

边际利润为，得Q=3.2（百台）.

所以，当产量为3.2百台时，利润最大.

练习3.5

1.求由曲线y=ln x与直线y=ln a，y=ln b（b＞a＞0），x=0所围平面图形的面积.

2.求由两条曲线y2=ax和ay=x2（a＞0）围成的平面图形的面积.

3.求由曲线y=x2与直线y=0，x=1所围平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

4.一圆台形水池，深15 m，上下口半径分别为20 m和10 m，如果将其中盛满的水全部抽尽，需要做多少功?

5.有一等腰梯形闸门，它的两条底边长分别为10 m和6 m，高为20 m，垂直放置于水中，较长的底边与水平面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力.

6.求函数y=2xe-x在[0，2]上的平均值.

7.已知某产品的边际成本函数和边际收益函数分别为：

R′（Q）=7-Q（万元/百台）

求：（1）固定成本C（0）=1万元时的总成本函数、收益函数和利润函数.

（2）产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?

8.设生产某产品的边际成本为C′（Q）=2（万元/件），固定成本为0，边际收益为R′（Q）=20-0.02Q（万元/件），若在最大利润的基础上再生产40件产品，利润会发生什么变化?