大学应用数学：空间曲面及方程

在日常生活及实际问题中，我们经常会遇到各种曲面，例如：柱面、锥面、球面等.和直角坐标平面中曲线与方程的关系一样，空间中曲面和方程之间也有其相对应的关系.

1.平面的方程

例4.1　求点M1（x1，y1，z1）和M2（x2，y2，z2）的中垂面的方程.

解　设中垂面上的动点为P（x，y，z），于是有|PM1|=|PM2|，由距离公式得

化简得（x2-x1）x+（y2-y1）y+（z2-z1）z+

不妨令x2-x1=A，y2-y1=B，z2-z1=C，，则空间直角坐标系下的平面方程的一般形式为

显然，当A=0时，平面By+Cz+D=0与x轴平行；当B=0时，平面Ax+Cz+D=0与y轴平行；当C=0时，平面Ax+By+D=0与z轴平行；当D=0时，平面Ax+By+Cz=0过坐标系原点.当A=B=0时，平面Cz+D=0与xOy坐标平面平行；当A=C=0时，平面By+D=0与xOz平面平行；当B=C=0时，平面Ax+D=0与yOz坐标平面平行.

2.球面的方程

例4.2　求空间直角坐标系中以点P0（x0，y0，z0）为球心，以R为半径的球面的方程.

解　设球面上的动点为P（x，y，z），于是有|PP0|=R，由距离公式得

化简得球面的标准方程为

3.旋转曲面

例4.3　求空间直角坐标系中到定点F（2，0，0）和到yOz平面等距离的点的轨迹（旋转抛物面）方程.

解　设动点为P（x，y，z），于是有|PF|=|x|，由距离公式得，化简得4（x-1）=y2+z2.

通过与平面直角坐标系下的到定点F（2，0）和定直线x=0等距离的点的轨迹（抛物线）方程4（x-1）=y2对比，例4.3中的抛物面相当于平面直角坐标系下的抛物线4（x-1）=y2绕x轴旋转而成，而旋转抛物面的方程就相当于是将直角坐标系下的抛物线方程4（x-1）=y2中的y2代换为y2+z2，即得4（x-1）=y2+z2（图4.3）.

一般规律，将xOy坐标平面上的曲线F（x，y）=0绕x轴旋转所得的旋转曲面的方程为；绕y轴旋转所得的旋转曲面的方程为

其他坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程可用类似的代换得出.我们也可以根据这个规律判断方程表示的图形的大致形状.

例如，将椭圆绕x轴旋转所得的椭球面的方程为；方程1所表示的曲面可看作双曲线绕y轴（虚轴）旋转而成的单叶双曲面；方程=1所表示的曲面可看作双曲线绕x轴（实轴）旋转而成的双叶双曲面；方程3z=x2+y2所表示的曲面可看作xOz坐标平面上的抛物线3z=x2绕z轴（对称轴）旋转而成的旋转抛物面.

4.柱面方程

例4.4　分析方程x2+y2=R2所表示的曲面形状.

解　方程x2+y2=R2在xOy平面上表示圆心在原点、半径为R的圆.在空间直角坐标系中，该方程不含竖坐标z，即不论空间点的竖坐标z怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y能满足该方程，那么这些点就在该曲面上.这就是说，如果空间点M（x，y，0）满足方程x2+y2=R2，则平行于z轴且过点M（x，y，0）的直线上的点都满足方程x2+y2=R2，即该直线在曲面上.因此，该曲面可以看成平行于z轴的直线l沿xOy平面上的圆x2+y2=R2移动而成的（见图4.4）.把这种曲面称为圆柱面，xOy平面上的圆x2+y2=R2称为圆柱面的准线，平行于z轴的直线l称为圆柱面的母线.

图4.3

图4.4

一般规律，只含两个变量的方程所表示的图形，在空间直角坐标系中表示母线垂直于这两变量轴所在的平面的柱面.(www.xing528.com)

例如，方程F（x，y）=0在空间直角坐标系中表示母线平行于Oz坐标轴的柱面，其准线是xOy坐标平面上的定曲线C1；F（x，y）=0；同理，只含两个变量x、z而缺少变量y的方程G（x，z）=0和只含两个变量y、z而缺少变量x的方程H（y，z）=0在空间直角坐标系中则分别表示母线平行于Oy坐标轴和Ox坐标轴的柱面，其准线分别是xOz坐标平面上的定曲线C2：G（x，z）=0和yOz坐标平面上的定曲线C3：H（y，z）=0.

平面是柱面的特例，如平面By+Cz+D=0与x轴平行；平面Ax+D=0既平行于y轴，又平行于z轴，因而它平行于yOz坐标平面.

练习4.1

1.填空题.

（1）过点A（2，-1，4），B（-1，3，-2），C（0，2，3）的平面的方程是________.

（2）过点P（5，2，-1）且在三个坐标轴上的截距相等的平面的方程是________.

（3）以点C（1，2，-1）为球心且过原点的球面的方程为________.

（4）方程y=2x+1在空间直角坐标系中表示的图形是________.

2.选择题.

（1）方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示________.

（A）球面　　（B）平面

（C）柱面　　（D）圆锥面

（2）下面的方程中表示双曲柱面的是________.

（3）方程x2+y2=0在空间直角坐标系中的图形是________.

（A）圆　　（B）一个点

（C）柱面　　（D）一条直线

（4）方程为3x-4z+1=0的平面________.

（A）平行于Ox轴　　（B）平行于Oy轴

（C）平行于Oz轴　　（D）平行于xOy面

（5）双曲线绕y轴旋转而成的单叶双曲面方程为________.

3.将xOy面上的椭圆分别绕x，y轴旋转一周，求所得的旋转曲面的方程.

4.将xOy面上的双曲线4x2-9y2=1分别绕x，y轴旋转一周，求所得的旋转曲面的方程.

5.指出下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形.

（1）　　　（2）x2-y2=1；

（3）y=2x2；　　　（4）4x2+y2=1；

（5）x2-y2-z2=2；　　（6）z=x2+y2-3.