高等数学及其应用（下）：特殊曲面

1.球面

例1　求球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R 的球面方程.

这就是球面上的点的坐标所满足的方程,而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程.因此,方程(2)就是以点M0(x0,y0,z0)为球心、R 为半径的球面方程.

特别地,若球心在原点,那么x0 =y0 =z0 =0.此时,球面方程为

2.柱面

定义7.6　平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面,称为柱面.定曲线C

称为柱面的准线,动直线L 称为柱面的母线(见图7.23).

图7.22

图7.23

如果母线是平行于z 轴的直线,准线C 是xOy 平面上的曲线F(x,y) =0,则此柱面的方程就是

由于点M(x,y,z)位于柱面上的充要条件是它在xOy 坐标平面上的投影点M1(x,y,0)位于准线C 上,即x,y 满足方程F(x,y) =0.因此,柱面的方程就是F(x,y) =0.

同样,仅含y,z 的方程F(y,z) =0 表示母线平行于x 轴,以yOz 平面上的曲线F(y,z) =0 为准线的柱面;仅含z,x 的方程F(z,x) =0 表示母线平行于y 轴,以xOz 平面上的曲线F(x,z) =0为准线的柱面.

例2　指出下列方程在空间直角坐标系中表示什么几何图形:

解　(1)在空间中方程x2 +y2 =R2 表示母线平行于z 轴,准线为xOy 平面上的圆x2 +y2 =R2 的圆柱面(见图7.24).

(2)在空间中表示母线平行于z 轴,准线是xOy 平面上的抛物线y=2x2(见图7.25).

图7.24

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图7.25

图7.26

3.旋转曲面

定义7.7　平面一曲线C 绕同一平面上的定直线L 旋转一周所成的曲面,称为旋转曲面.曲线C 称为旋转曲面的母线,定直线L 称为旋转曲面的旋转轴.

图7.27

例如,球面、圆柱面及圆锥面等都是旋转曲面.

设在yOz 平面上有一已知曲线C:F(y,z) =0,将这条曲线绕z轴旋转一周,得到一个以z 轴为旋转轴的旋转曲面(见图7.27).下面来求此旋转曲面的方程.

例3　求yOz 面上的直线z=ky(k ＞0)绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程.

此曲面称为双叶旋转双曲面(见图7.29).

同理,所给双曲线绕z 轴旋转一周形成的旋转曲面的方程为

此曲面都称为单叶旋转双曲面(见图7.30).

图7.28

图7.29

图7.30