二元函数连续性解析-大学应用数学

1.定义

设二元函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）的某一个邻域内有定义，并且f（x0，y0），则称该二元函数在点P0（x0，y0）处连续.否则称该二元函数在点P0（x0，y0）处间断.

若二元函数z=f（x，y）在区域D内的每一点都连续，则称该二元函数z=f（x，y）在区域D内连续。

2.连续函数的性质

与一元连续函数的性质类似.多元连续函数在其定义域内有如下性质：

性质4.1　若多元函数在有界闭区域D上连续，则该多元函数在D上必能取得最大值与最小值.

性质4.2　多元连续函数的和、差、积均为连续函数，多元连续函数的商为连续函数（在分母不为零处），多元连续函数的复合函数在定义域区域内仍为连续函数.

性质4.3　一切多元初等函数在其定义域内是连续的.

练习4.2

1.填空题.

（1）函数的定义域为________.

（2）函数的定义域为________.

（3）函数z=ln（xy）的定义域为________.

（4）函数的定义域为________.

2.选择题.

（1）函数的定义域是________.

（A）x≠y　　　（B）x≠-y(www.xing528.com)

（C）x≠±y（D）　　　（x，y）≠（0，0）

（2）关于二重极限的说法，不正确的是________.

（A）二重极限与一元函数极限定义类似

（B）二重极限不能用洛必达出则求极限

（C）二元函数如果满足，则z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续

（D）多元初等函数在其定义区域内是连续的

（3）

（A）0　　　　（B）∞　　　　（C）1　　　　（D）不存在

（4）函数的定义域为________.

（A）{（x，y）|x2+y2＜1，x≥0}　　　（B）{（x，y）|x2+y2≤1，x≥0}

（C）{（x，y）|x2+y2≥1}　　　　（D）{（x，y）|x≥0}

3.设二元函数

4.设f（x+y，x-y）=x2+y2，求f（x，y）.

5.求下列二重极限.

6.讨论极限的存在性.