大学应用数学中的行列式概念

例6.11　用消元法求线性方程组的解（如果有解）为

为方便记忆，我们把由矩阵

的元素，按照一定的规则（即由主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积）计算出来的代数和a11a22-a12a21称为二阶行列式，记作（6.1）

其中aij（i，j=1，2）称为二阶行列式的元素.与矩阵一样，横排为行，竖排为列.

利用这个记号就可以将上面的解写成易于记忆的形式：

同样地，引入三阶行列式的概念：

与矩阵有关的代数和

称为A的三阶行列式，记作

其中是行列式划去a11所在的行和列之后，剩下的元素所组成的二阶行列式，我们把它称为a11的余子式，并以M11表示：

令A11=（-1）1+1M11，称A11为a11的代数余子式.

类似地，为a12的余子式，A12=（-1）1+2M12，称A12为a12的代数余子式；为a13的余子式，A13=（-1）1+3M13，称A13为a13的代数余子式.于是有：

把此展开式推广到n阶方阵(www.xing528.com)

则可得到如下n阶行列式的定义：

n阶行列式：由n2个元素aij（i，j=1，2，…，n）组成的记号

称为n阶行列式，横排为行，竖排为列.n阶行列式D表示一个代数和，即

或

其中Aij代表元素aij的代数余子式（i，j=1，2，…，n），它是把行列式D中元素aij所在的行和列划去后，余下的n-1阶行列式再乘以（-1）i+j.式（6.4）与式（6.5）分别是n阶行列式D按第i行的展开式与按第j列的展开式.

必须注意的是：（1）行列式一般用大写字母表示.（2）行列式的元素可以是数，也可以是函数.（3）矩阵与行列式是两个完全不同的概念，二者除了记法不同外，最本质的区别是：行列式是一个代数式，它最终表示的是一个数或函数，元素不同的两个行列式，其值可能相等；而矩阵则仅是一个数表而已，两个矩阵相等，当且仅当它们的行数与列数都相等，且对应元素也分别相同时，才能称它们是相等的.

例6.12　求下列行列式的值.

解　（1）由式（6.1），得

（2）由式（6.1），得

（3）由式（6.2），得

或由式（6-3），得