随机事件与积事件的计算方法

1.随机事件的概念

为了研究随机现象的内在规律性，必然对客观事物进行观察、测定和试验，通称为随机试验，简称试验，并规定概率初步里所研究的试验（不同于科学实验）具有以下特点：

（1）试验可以在相同的条件下重复进行.

（2）每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以明确试验的全部可能结果.

（3）试验之前不能准确预测该次试验将出现哪一种结果.

例如，掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；记录某网站一分钟内受到的点击次数；在一批灯泡中任取一只，测其寿命；任选一人，记录他的身高和体重等都是试验.

在随机试验中，我们关心的是试验的结果，在一次试验中可能发生也可能不发生的结果，称为随机事件，简称事件，一般用大写英文字母A，B，C…来表示.

例8.1　某公司为了了解一批产品的质量，从中抽出50件产品来检查，结果可能是：{没有次品}，{有1件次品}，{有2件次品}，……，{全是次品}，其中每一种结果都是一个事件，用字母表示这些事件，可分别记作：A0={没有次品}，A1={有1件次品}，A2={有2件次品}，…，A50={全是次品}或统一表述为：Ai={有i件次品}（i=0，1，2，3，…，50）.上述这些事件的特点是不可分，习惯上称为基本事件.此外，像{次品不多于1件}，{次品不少于10件}，{次品为5～8件}等也是事件，而这一些事件可以分解为一些基本事件，习惯上称为复合事件.

对于随机试验的结果，有些是必然发生的，我们称之为必然事件.记作Ω；有些是不可能发生的称之为不可能事件，记作Φ.今后为了讨论的方便，将必然事件与不可能事件也看作特殊的随机事件.

2.随机事件间的关系

研究一个随机事件，常常同时涉及许多事件，而这些事件之间往往是有关系的.了解事件间的关系，便于我们通过对简单事件的了解，去研究与其有关的较复杂事件的规律，这一点在研究随机现象的规律上十分重要.

为了直观表示事件间的关系和运算，可采用图示法，即用矩形表示随机试验中的基本事件的全体，矩形中的点表示随机试验中的每一基本事件，矩形中的圆表示包含某些基本事件的随机事件.

（1）事件的包含与相等.若事件A的发生必导致事件B的发生，则称事件B包含事件A，记作A⊆B（见图8.1）.若A⊆B且B⊆A，则称事件B与事件A相等，记作A=B.

（2）事件和.“事件A与B至少有一个发生”这一事件，称为事件A与B的和（或并），记作A+B（或AUB）（见图8.2）.

n个事件的和A1+A2+A3+…+An表示A1，A2，A3，…，An至少有一个发生.

图8.1

图8.2

例8.2　在100件产品中，有3件次品，从中任取3件，记Ai={恰有i件次品}（i=0，1，2，3），B={至少有1件次品}，则B=A1+A2+A3.

（3）积事件.“事件A与B同时发生”这一事件，称为事件A与B的积（或交），记作AB（或A∩B）（见图8.3）.

n个事件的积A1A2A3…An表示A1，A2，A3，…，An同时发生.

例8.3　如图8.4所示的电路，C={电路断开}，A={元件a发生故障}，B={元件b发生故障}，则C=AB.

图8.3

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图8.4

（4）事件的差.“事件A发生而事件B不发生”这一事件，称为事件A与B的差，记作A-B（见图8.5）.

（5）事件的互不相容.若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容（或互斥），如图8.6所示.显然，同一试验中的各个基本事件是互不相容的；互不相容事件的积为Φ.

图8.5

图8.6

（6）互逆事件（或对立事件）.若事件A与B至少有一个发生，但又不能同时发生，则称事件A与B是互逆事件（或对立事件），记作B=A（或A=B），如图8.7所示.

图8.7

显然，

（7）完备事件组.若事件A1，A2，A3，…，An同时满足：

①A1，A2，A3，…，An两两互不相容，即AiAj=Φ，（1≤i，j≤n，i≠j）.

②A1+A2+A3+…+An=Ω.

则称A1，A2，A3，…，An构成一个完备事件组.显然，全部的基本事件构成一个完备事件组；任何事件与其逆事件也构成一个完备事件组.

3.随机事件间的运算律

设A、B、C表示三个事件，则其运算满足下列基本规律：

（1）交换律：A+B=B+A，AB=BA.

（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C），（AB）C=A（BC）.

（3）分配律：A（B+C）=AB+AC，A+（BC）=（A+B）（A+C）.

（4）对偶（De Morgan）律：

例8.4　甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）至少有一人命中目标.（2）恰有一人命中目标.（3）恰有两人命中目标.（4）三人均命中目标.（5）三人均未命中目标.

解　（1）A∪B∪C.（2）（3）

（4）ABC.（5）