初等数论：2进位制数与十进位制数的相互转化

在计数制度中，除十进位制以外，还有“满二进一”的二进位制，“满十二进一”的十二进位制，“满十六进一”的十六进位制，“满六十进一”的六十进位制，等等.

在一种进位制中，某一计数单位满一定个数就组成一个相邻较高级的单位.这个一定个数叫作这种进位制的底数，即“满几进一”就是几进位制，可见，底数是一个大于1的正整数.

为了区分不同进位制，记数时常在数的右下角注明底数，如二进位制数11（2)，八进位制数342（8)等，十进位制数一般不标注底数.

每一种进位制都可以按照位值原则计数，由于每一种进位制的底数不同，所用数字也不同，如十进位制用0至9十个，五进位制用0至4五个，二进位制用0和1两个.

k（k＞1)进位制的计数单位是k0，k1，k2，….

例如，2进位制的计数单位是20，21，22，…；八进位制的计数单位是80，81，82，….

k进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式：

由此可以进行一个数不同进位制的相互转化，下面举例说明二进位制数与十进位制数的互化.

例2 把110111（2)化为十进位制数.

解 二进位制计数单位从右至左依次是20，21，22，…，把110111（2)写成不同记数单位的数之和的形式，计算即可得到十进位制数.

例3 把13化为二进位制数.

解 用2连除13和所得的商，把余数倒序写出来即可.

过程如下：

13=2×6＋1，把1放在右起第一位，6是所得的商；

6=2×3＋0，把0放在右起第二位，3是所得的商；

3=2×1＋1，把1放在右起第三位，1是所得的商；

1=2×0＋1，把1放在右起第四位，0是所得的商.(www.xing528.com)

所以13=1101（2).

这种方法叫作2除取余倒写法.通常采用下面的竖式：

最后把余数按箭头所示顺序写出，得到13=1101（2).

习题1.1

1.（1)写出最小四位数abcd；若a，b，c，d各不相同呢？

（2)某些自然数，除前两位数之外，从左至右，每一位上的数字都是它前两位上的数字之和，求这样的数中的最大者.

3.一个十进位制数，其个位数字6移到最高位，其余各位的数字顺序不变，所得之数是原来的4倍，求符合要求之最小者（第四届世界中学生奥赛第一题).

4.若一个数的数字顺序与另一个数的数字顺序相反，则称这两个数互为反序数，如123的反序数为321.试写出下列各数的反序数：

5.填空：（1)20011（3)=________（10)； （2)31404（5)=________（10)；

（3)7137（10)=________（4)； （4)21580（10)=________（8)；

（5)11110001（2)=________（8).

6.比较1011011（2)与1203（4)的大小.

7.一个富豪要把一百万元钱赠人，他要求获赠者所得钱的元数只能是1或7的乘幂，他不喜欢有6人以上获得同额赠款，但却不计较领钱人多少.问如何分配才能使他如愿？

8.某人只会加减及乘以2、除以2的运算，其计算89×107的步骤如下：89，107写在两行开头，第一行逐次除以2记商舍余；第二行逐次乘以2.

结果确实正确，试说明理由.

9.七进位制三位数化为九进位制数时，三个数字顺序恰好倒过来，求这个数.