混沌同步及其图像加密研究

混沌是非线性系统所呈现出来的一种高度复杂的动力学行为，但并不是所有的非线性系统都具有混沌行为，因此如何判断给定的一个非线性系统是否具有混沌行为、如何对混沌行为进行数学上的量化以及如何从混沌信号中得到一些有用信号是混沌研究中几个无法避免的问题。目前，根据混沌本身所具有的特点，判断一个非线性系统是否为混沌系统的方法主要包括直接观测法、相空间重构法、功率谱分析法、Lyapunov指数法、庞加莱截面法。

（1）直接观测法

该方法是依据混沌动力系统的方程，结合仿真技术，画出相空间中相轨迹随时间的变化图，以及状态变量随时间变化的历程图。通过对比、分析和综合加以确定解的分岔和混沌现象。在相空间中，周期运动对应封闭曲线，混沌运动对应一定区域内随机分离的永不封闭的轨迹，即奇怪吸引子。同时，利用此方法可确定分岔点和普适常数。

（2）相空间重构法

分析系统在相空间的轨迹是一种很直观的方法。通常，我们测得的时间序列只包括一个变量，可是需要两个变量或两个以上的变量的时间序列才能构成相平面或相空间。然而，一个变量的时间序列是由整个系统运动产生的，其中应该蕴含着整个系统的运动特性。因此，可以使用所测得的单一时间序列来重构整个系统的相空间。

假设已经获得的单一时间序列为｛x（k），k＝1，2，…，n｝，重构相空间一般采用如下方法。首先选择一个嵌入维数即重构相空间，维数满足m≥2n＋1，其中n为此相空间的实际维数。然后，选取一个相空间重构的间距τ，满足τ为单一时间序列采样周期的整数倍。最后，取x（k），x（k＋τ），x（k＋τ），…，x（k＋（m－1）τ）为坐标轴，画出系统的重构后的相空间的轨迹。这样重构系统相空间所得到的轨迹也能够反映原系统的动力学属性。如果重构后的相空间的轨迹是一个定点，则表明原系统处于定态；如果是有限个点，则原系统在做周期运动；如果所得到的相空间的轨迹是具有离散结构或者某种分布形式的离散点，则说明原系统是混沌的。

（3）功率谱分析法

功率谱分析是研究混沌的一个重要手段。功率谱是单位频率上的能量，它能反映出功率在频率上的分布情况。假定已经获得了按等时间间隔Δt的时间序列x（k）（k＝1，2，…，N），对这个序列加上周期边界NN＋j＝Nj，然后计算自关联函数

再对cj作离散傅立叶变换，计算其傅立叶系数

pk代表第k个频率分量对xi的贡献，这就是功率谱的本来的意义。实际计算时可直接对时间序列按下式进行快速傅立叶变换(www.xing528.com)

则功率谱定义为

通过以上的功率谱分析方法可以来分析系统的动力学性质。如果功率谱在频率f及其高次谐波2f，3f，…处有δ函数形式的尖峰，其中尖峰的高度代表相应频率的振动强度，则表明系统此时在做频率为f的周期运动；如果功率谱基频为f1，f2，…，fk的准周期系统在f1，f2，…，fk及其线性组合处有δ函数形式的尖峰，则表明系统发生了分岔；如果功率谱可能带有略宽一些的尖峰，并且有一些宽带的噪声背景，则此时系统处于混沌状态。

（4）Lyapunov指数法

Lyapunov指数是系统相空间中邻近轨道的平均收敛性或平均发散性的一种度量，在证实系统是否存在混沌运动方面起到了重大的统计特征意义。如果系统做混沌运动，则系统在相空间内具有奇怪吸引子，这时系统吸引子中的相邻轨道呈指数分离，也就意味着对于完全确定的同一系统对于不同的初始值，经过长时间的演化后，一定会发生大的差异。通常用Lyapunov指数来表征这种系统吸引子的运动性质。如果计算出的Lyapunov指数值小于0，则表明系统对初始值不敏感，运动稳定；如果Lyapunov指数值恰好等于0，这时系统处于临界状态；如果得到的Lyapunov指数大于0，表明系统敏感依赖于初始值，经过多次迭代后，系统的相邻轨道呈指数发散，系统这时已处于混沌状态。

通常利用如下方法计算连续n维动力学系统的Lyapunov指数。考察一个无穷小n维球面的长时间演化过程。由于流的局部变形特性，球面将变为n维椭球面。第i个Lyapunov指数按椭球主轴长度Pi（t）定义为

式（1.1－1）就是系统的Lyapunov指数的大小。系统的大于0的Lyapunov指数的方向，都对系统的吸引子起支撑作用，而负的Lyapunov指数的方向，对系统的吸引子起收缩作用。系统处于混沌状态时既具有正的Lyapunov指数，也具有负的Lyapunov指数，这时伸缩与折叠相互作用，形成了相空间内的奇怪吸引子。所以，对于吸引子的正的Lyapunov指数越大，系统的混沌性质就越强。

（5）庞加莱截面法

庞加莱截面（Poincare surface of section）也是分析混沌系统的一个重要工具，是用离散影响讨论连续函数的方法。它通过降低系统的维数来判断系统的运动状态，降低了分析的难度。所谓庞加莱截面是指低于系统维数的相空间中的一个平面，上面记录着轨道在演化过程中一次次穿过该平面的位置。通过观察庞加莱截面上这些相交的点的分布来分析系统的一些动力学特征。例如，对于一个三维非线性系统，我们就可以取一个二维平面当庞加莱截面，看系统的轨迹穿过二维平面时位置的分布情况。如果截面上交点的位置呈现为有限个分立的点，那么系统做的运动就是周期的；如果截面上轨迹的位置是一条连续的线，那么运动是准周期的；如果截面上轨迹的位置呈现出杂乱无序的无穷多的点，那么系统做的就是混沌运动。